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Problema de demostración geométrica: cuadratura del círculo

Transcripción del video

nos dicen que el cuadrilátero abc de es un cuadrado por lo que todos sus lados son iguales y todos sus ángulos internos serán de 90 grados también sabemos que el segmento f que es perpendicular y corta por la mitad el segmento bc también nos dicen que el arco ac es parte de la circunferencia con centro en b es decir este es el punto central de la circunferencia y esta es parte de esta circunferencia asociada con toda esa información nos piden encontrar la medida del ángulo de d que es formado por esteve y d nos piden encontrar este ángulo los invito a que pausa en el vídeo y traten de resolverlo ustedes mismos y después continúen bien el vídeo en donde les daré algunas pistas sobre cómo resolverlo la primera pista es que traten de dividir este ángulo en triángulos cuyos ángulos sean más sencillos de encontrar dado nuestros conocimientos sobre triángulos esto procederé a resolver el problema ustedes pueden pausar el vídeo en el momento en el que ustedes consideren que están listos para terminar de resolverlo por su cuenta el punto aquí es darse cuenta que esto de aquí en b es el radio de un círculo por lo que en el centro a la circunferencia cualquier punto va a medir lo mismo por lo que la distancia debe aa es la misma que la distancia debe a e y es la misma que debe hacer lo importante aquí es saber dibujar las líneas correctas para visualizar los triángulos correctos voy a dibujar una línea que quizás los oriente sobre cómo generar los triángulos necesarios voy a tomar este punto y voy a unirlo con el punto aquí está ahora esto se pone interesante porque cuál es la relación entre los triángulos s bueno ambos comparten un lado el segmento eje y bg es igual al segmento que se tiene la misma distancia estos en la misma distancia pues están dividiendo este segmento la mitad el segmento veces y ambos tienen un ángulo de 90 grados así que por ángulo lado ángulo estos dos triángulos serán congruentes los triángulos o el triángulo d es congruente con el triángulo c g por lado ángulo la por la congruencia lado ángulo lado y esto nos dice que los respectivos lados y ángulos de ambos triángulos serán iguales así que por esto nosotros ingerimos el lado que se va a ser igual o va a tener la misma distancia que el lado b es decir este lado tiene la misma longitud que este lado de acá y sabemos que este es el radio del círculo por lo que ese también va a ser igual al radio y ya habíamos dicho que veces es la misma distancia del radio también así que esto también va a ser igual a el segmento b c y aquí me estoy dando cuenta que me faltó indicar que este segmento de aquí es el que está en común por estos dos triángulos que había mencionado anteriormente pero bueno regresando a nuestro enunciado actual encontramos que este es un triángulo equilátero por lo tanto va a tener todos sus lados y sus ángulos internos iguales cada uno de sus ángulos internos será de 60 grados 60 grados a 60 grados este de aquí + 60 grados nos va a dar 180 grados que es lo que debe de medir el total de grados de los ángulos internación triángulo entonces escribimos nuestro triángulo b sé es equilátero equilátero platero por lo tanto la medida del ángulo b es que es parte del ángulo que estamos buscando de ese este aparte de ángulo de todo el que queremos encontrar esta medida es igual a 60 grados ya tenemos resuelto es una parte del problema solo nos falta encontrar el ángulo de ese esta parte de acá como podemos encontrar este ángulo sabemos que el segmento s es igual al radio del círculo y este lado de aquí abajo el de cee ya que tenemos un cuadrado pues también medirá un radio los cuatro lados medirán un radio lo mismo estos lados van a medir lo mismo estos van a medir lo mismo estos porque son cuadrados ok lo escribimos de vido de vido a que es un cuadrado el lado cede es igual al lado de ce que también va a ser igual al lado y se lo importante es que se den cuenta de que los dados s i d c son los mismos son iguales por lo que eso nos indica que este triángulo que estoy señalando aquí es un triángulo isósceles y sabemos que en este tipo de triángulos los dos lados iguales o piernas son congruentes al igual que los ángulos de la base si encontramos el ángulo del vértice c este ángulo de acá el ángulo de c estamos a 180 grados y el resultado lo dividimos entre 2 para encontrar los ángulos que nos faltan aquí en la base de este triángulo equilátero vemos que tenemos cada ángulo de 60 grados del cuadrado sabemos que este ángulo d d es de 90 grados este es un ángulo recto tenemos estos 60 grados estos 90 grados restamos 60 a 90 y este ángulo de acá nos va a quedar igual a 30 grados en nuestro ángulo acá así que para saber los ángulos de este triángulo isósceles si nosotros llamamos a este ángulo x y a este otro ángulo de acá también x porque son lo mismo y decimos x x 30 que es este ángulo deberá ser igual a 180 grados y aquí vamos a ir simplificando esto 2 x + 30 debe ser igual a 180 2x si restamos ambos lados en la ecuación 30 180 menos 30 nos va a quedar 150 por lo que el ángulo x va a ser igual a 150 entre 275 grados todos estos son grados así que estos segundos van a medir 75 grados este ángulo que nos faltaba de acá es de 75 grados por lo que la medida del ángulo d es la suma oa ser igual a la suma de 60 grados 75 grados iguala 135 grados y con esto hemos terminado