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Triángulos congruentes y el criterio LLL

CCSS.Math:
HSG.CO.B.7

Transcripción del video

en esta ocasión vamos a hablar acerca de la congruencia la congruencia vamos a escribirlo bien la congruencia una forma de pensar en ello es una equivalencia en forma en álgebra cuando algo es igual a otra cosa nos indica que la cantidad es la misma en este caso hablamos de formas congruencia indica que la forma es la misma y el tamaño es el mismo así que podemos pensar en la congruencia como algo equivalente a decir que es igual en forma y tamaño dibujemos un ejemplo aquí voy a dibujar un triángulo de esta manera y tenemos otro triángulo que lo voy a dibujar de otra forma este triángulo lo voy a dibujar si pudiéramos rotar y mover este primer triángulo podríamos ver que es exactamente igual a este segundo triángulo siempre y cuando no se cambien las longitudes de los lados o la medida de los ángulos y solamente se roten muevan o volteen lo anoto si solo se rota 9 o voltea voltear se pueden realizar estos tres procedimientos para lograr que ambos triángulos se ven iguales si esto se da entonces ambos triángulos serán congruentes vamos a etiquetar los vértices de estos triángulos vamos a poner a llamar a este extremo de acá este de acá lo llamamos b y a este de acá lo llamamos en este caso aquí voy a llamarle equis y apareció otra cosa menos la x x este punto de acá va a ser y este de aquí va a ser set si afirmamos que ambos triángulos son congruentes si yo afirmo que el triángulo b c es congruente con este símbolo estoy indicando este igual con esta parte curva aquí arriba estoy indicando la palabra congruencia si es congruente con el triángulo x y z x y z entonces los lados correspondientes serán iguales al igual que los ángulos eso implica esto implica que el extremo ave lo voy a remarcar aquí el segmento que va de a ave es igual al extremo que corresponde o al segmento que corresponde entre x esto quiere decir que el lado ave es igual al lado x incluso podemos ver en la forma en que definimos los triángulos corresponde con x v corresponde con james y se corresponde con zeta así que el segmento ave es igual al segmento xy y si no cuentan con colores como lo he señalado acá pueden usar o denotar que estos son iguales usando un pequeñito segmento de línea aquí ya acá indicando que estos dos son iguales e incluso podemos despreciar este enunciado así que el segmento ave el segmento de línea b es congruente con el segmento de línea x la congruencia entre dos segmentos de líneas significa que son del mismo tamaño así que estos dos enunciados significan lo mismo podemos hacer esto con cada uno de los lados correspondientes en ambos triángulos puedo indicar con diferentes colores que el segmento hace es igual que el segmento x z lo puedo señalar también con estas dos líneas indicando que estos son iguales y con otro color indicar que el segmento entre beige es lo mismo que el segmento entre z y yo también lo puedo señalar aquí con en este caso tres líneas pequeñas para enseñar que todos estos dos elementos son iguales así que aquí escribo por ejemplo que el segmento a c es igual al segmento xz y también indicó que el lado de ce es igual al lado de zeta ahora que sabemos que los lados correspondientes son iguales también sabemos que los ángulos correspondientes son iguales como el ángulo que se forma entre este lado rojo y este lado azul este ángulo es el mismo que tenemos entre este lado rojo y el lado azul en este también así pues la medida del ángulo de a c es igual a la medida del ángulo x set es decir el ángulo de acs que acabo de indicar es igual al ángulo de x set este ángulo de acá lo mismo podemos hacer con los demás ángulos de este triángulo vamos a elegir otros colores este ángulo de acá es el mismo que se encuentra acá la medida del ángulo d a veces es igual a la medida del ángulo x jay-z x z y de hecho también puedo indicar con otra anotación esto mismo por ejemplo en este enunciado de aquí arriba también lo puede expresar como que el ángulo b a c es congruente con el ángulo x z estos dos enunciados son equivalentes bueno continuemos con nuestros ángulos internos puedo decir finalmente que este ángulo entre a se ve que estoy señalando aquí en morado la medida del ángulo a cb es igual a la medida del ángulo que se forma con x zg es igual a la medida del ángulo x zeta ahora vamos a enfocarnos en cómo demostrar la congruencia entre dos triángulos ya que si podemos demostrar eso entre dos triángulos entonces podremos decir que todos estos enunciados se cumplen ahora vamos a comenzar con un axioma o postulado lo voy a escribir aquí axioma axioma o postulado que suenan palabras muy elegantes muy exóticas postulado ambas palabras son muy sofisticadas simplemente significa que algo que asumimos es verdad en particular el axioma se distingue por ser algo que es evidentemente cierto como una verdad universal algo que se da por sentado y que no se puede demostrar el postulado es algo similar es algo que decimos que se asume que es cierto para entonces hacer otras inferencias a partir de ello pero para propósitos de una clase introductoria de geometría ambos términos se usan de manera indistinta un axioma o postulado central para la demostración que queremos encontrar es el asumir que si todos los lados son congruentes entonces estaremos tratando con triángulos congruentes a veces a esto se le llama el postulado lado lado lado o 3 él es esto significa entonces lado lado lados esto significa en estas tres él es lo que nos dice es que si tenemos dos triángulos voy a dibujar otros dos triángulos aquí ahora los voy a dibujar de esta manera así y otros de otro color vamos a dibujarlo en otra posición y así si tenemos estos dos triángulos y sabemos que los lados correspondientes son iguales es decir que el lado este y este son iguales y que el lado vamos a señalarlo aquí con colores este lado de aquí que corresponde a este lado de aquí también son iguales son congruentes tienen el mismo tamaño y finalmente que este otro lado de acá este lado de aquí acá es igual a este otro lado que estoy señalando acá estos dos lados también son iguales entonces cuando tenemos los tres lados iguales en ambos triángulos entonces ambos triángulos van a ser congruentes esto nos indica cuando tenemos lado lado lado que estos tres lados son iguales en ambos triángulos este triángulo va a ser congruente con este triángulo y con esto podemos afirmar todos estos otros enunciados como verdaderos que los ángulos internos también de estos triángulos van a ser congruentes este ángulo va a ser congruente con este ángulo de acá este ángulo va a ser congruente con este otro de acá y este ángulo de aquí también va a ser congruente con este ángulo de acá y para saber por qué estos son postulados válidos para comenzar tomamos uno de los triángulos y ahora veamos si podemos construir otro triángulo que tenga las mismas longitudes de los lados pero sea diferente aún cuando se pueda mover voltear o rotar así que voy a construir aquí otro triángulo este lado del triángulo voy a poner de otro color en este lado ahí está y finalmente voy a dibujar este otro lado así que para este otro triángulo vamos a dibujar este lado en esta posición vamos a dibujar el lado naranja no sé aquí abajo no mejor aquí arriba lo dibujamos pero igual en otro con otra dirección más o menos así y nuestro lado morado lo pondremos algo así claramente esto no es un triángulo tendríamos que estos lados girar los para que se unan estos extremos y hay dos maneras de hacerlo una manera es rotando los hacia esta dirección de manera que cada lado nos va a quedar este lado y lo roto así y me va a quedar algo así y este lado morado lo roto se va a unir acá y me va a quedar así de manera que estos dos triángulos son iguales finalmente ahora otra forma de hacerlo como les comentaba es rotar estos extremos estos lados pero ahora hacia acá este acá y este acá vamos a hacerlo tomamos el lado naranja más o menos es tamaño lo giramos lo rotamos y este lado a morado también lo tomamos de aquí lo rotamos hacia acá de manera que venimos a los extremos y nos queda un triángulo igual y sólo tendremos que rotarlo para este lado hacia acá para que quede con la misma forma y la misma proporción que este primer triángulo iconos espero que quede claro que este axioma del lado lado lado es razonable como inicio para confiar en que si los lados correspondientes de dos triángulos son iguales entonces serán triángulos congruentes y por lo tanto también los ángulos internos no se dan