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El teorema de la desigualdad del triángulo

CCSS Math: 7.G.A.2

Transcripción del video

vamos a dibujar un triángulo aquí voy a poner un lado con otro color voy a poner el otro de los lados y finalmente voy a poner un tercer lado por acá y vamos a pensar que el lado azul mide 6 el lado rosa mide 10 y que el lado verde mide x entonces una buena pregunta es ver cuánto es lo mínimo y lo máximo que puede valer x sabiendo que los otros lados son 6 y 10 vamos a empezar pensando cuánto es lo mínimo que puede valer x y para eso queremos acercar este punto a este punto de acá con lo cual tenemos que hacer este ángulo lo más pequeño posible entonces dejan hacer que ese ángulo sea más o menos pequeño vamos a poner aquí al lado de longitud 10 entonces lo que tendríamos que hacer es que este lado de longitud 6 quedará con un ángulo muy pequeño es más dejan de hacerlo más pequeños como por acá vale 6 entonces si tenemos que este ángulo es muy pequeño este punto de estar muy cerca de este punto y entonces x va a ser muy pequeño pero qué tan pequeño puede ser bueno qué sucede si este ángulo sigue haciéndose más y más y más pequeño que sucede cuando este ángulo llega a cero digamos en ese caso tendríamos un triángulo degenerado no sería un triángulo de a de veras porque todos sus lados estarían en una misma línea aquí está aquí estaré al lado de longitud 10 por aquí estaré al lado de longitud 6 sería algo como de este estilo estaría y encimado en este mismo lado sería 6 y aquí tendríamos el lado de longitud x estoy aquí es el lado de longitud x y claramente esto es lo más cercano que pueden estar estos dos puntos bueno si aquí esto me de 6 y todo me de 10 en este caso x media 4 estoy aquí me diría 4 y tendríamos que el menor valor que puede tomar x64 pero nosotros no queremos triángulos degenerados porque los triángulos como que están muy flacos y en realidad pues no están en dos dimensiones así que lo que tenemos que pedir para que de a de veras sea un triángulo es que x sea mayor que cuatro entonces x puede ser tan cercano a 4 como que ramos pero tiene que ser mayor estrictamente vale ahora vamos a ver qué tan grande puede ser x si queremos que sea grande ahora este ángulo debe ser grande debe ser cercano a 100 80 grados en ese caso tendríamos algo de este estilo conforme conforme el ángulo se va haciendo muy grande y fue ponerle un poco más chiquito algo como así conforme el ángulo se va haciendo más grande entonces aquí tenemos algo muy cercano a 180 grados aquí sería 10 aquí sería 6m ponerlos filial 6-10 entonces esto este punto de acá y este punto de acá estarían muy alejados y esta longitud que es x sería muy grande verdad pero qué tan grande puede ser tan grande puede ser bueno pues otra vez nos vamos al caso extremo vamos a pensar que este ángulo realmente se hace de 180 grados entonces ahí tendríamos un segmento de longitud y es por acá un segmento de longitud 6 por acá 6 bueno hacer un poco más derechito como así tiene que quedar alineado vale entonces aquí sería 6 aquí sería 10 y en este caso x mediría la distancia entre este punto y este punto o sea que aquí x sería igual a igual a 16 pero una vez más este caso que es el caso extremo forma un triángulo degenerado sus vértices están alineados entonces no es un triángulo de a de veras de forma que lo máximo que puede valer x para así tener un triángulo es pues algo menos que 16 entonces x sería menor menor estricto a 16 entonces x mínimo es 4 y máximo el 16 pero estas ideas en realidad pues vienen de un concepto más general que se llama el teorema de la desigualdad del triángulo y lo que dice este teorema es simplemente que si tenemos un lado en un triángulo entonces es menor que la suma de los otros dos lados no voy a poner a la longitud la longitud de un lado a lado de un triángulo es menor estricto que la suma y suma de las otras dos longitudes otras 22 longitud es muy bien y bueno así si queremos contemplar a los suns a los triángulos que son triángulo sat y degenerados que están aquí 2 aquí le podríamos poner un menor o igual pero déjame quitárselo vale para que sean triángulos de a de veras entonces en este caso la longitud de un lado es menor que la suma de las otras dos longitudes y eso es exactamente lo que está sucediendo aquí observa que de este lado podemos decir que x es menor que la suma de los otros dos lados que seis más 10 66 + + 10 y eso es exactamente qué x es menor que 1616 lo mismo que obtuvimos con el análisis del caso extremo vale y de este otro lado podemos también aplicar la desigualdad del triángulo pero para el lado diez entonces que nos diría diría que 1010 es menor que x + 6 x + 6 + 6 y restando 6 de ambos lados obtenemos que cuatro es menor que x o bien que x es mayor que cuatro y eso fue exactamente lo mismo que obtuvimos con el análisis de caso extremo vale bueno entonces pues este teorema de de la desigualdad del triángulo parece ser una idea muy básica pero te vas a enfrentar con él en muchos problemas avanzados pueden ser problemas complicados de geometría o de vectores pero en el fondo está esta idea sencilla de que la suma de dos lados del triángulo siempre le ganan al tercero