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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:35

Introducción al teorema de la bisectriz de un ángulo

CCSS.Math:
HSG.SRT.B.4

Transcripción del video

lo primero que quiero hacer en este vídeo es contarte que dice el teorema de la bisectriz y después vamos a ver cómo se demuestra bueno aquí tenemos un triángulo abs y lo que voy a hacer es trazar la bisectriz debe en realidad todo esto va a funcionar para las directrices de cualquiera de los vértices vale pero ahorita lo vamos a trazar desde b para que sea más cómodo el ivu bueno como es directrices de ángulo es igual a éste aquí a este punto lo vamos a llamar el punto de donde llega la bisectriz y el teorema de la bisectriz lo que dice es lo siguiente no voy a apuntar aquí arriba teorema de la bisectriz bisectriz dice trees lo que dice es lo siguiente observa que esta directriz de parte del triángulo en dos pequeños triángulos bueno pues las razones de los lados de esos triángulos que no son la bisectriz son iguales para ambos triángulos es decir vea entrega de lo mismo que bese entre se dejan escribirlo de esta forma no voy a escribir como ave entre a de ave entre a de ade es igual acb entre cd es igual acb se ve entre se dé muy bien entonces aquí tenemos unas razones es más déjame pintarlo con colores para que sea un poco más padre tenemos a ab longitud de acá que va a ser color blanco entre a de que voy a pintar en morado entre ha de estar acá es igual acb que voy a poner en color verde igual acb se ve es estar acá / / sé de qué voy a pintar de color amarillo bueno ahí está más o menos en color amarillo pero la voy a pintar más amarillo vale entre cd bueno entonces este torneo está bien padre nos da una relación entre ciertos segmentos a través de una igualdad de razones pero bueno sea por muy padre que éste no podemos darla por hecho así nada más porque sí sería bueno ver de dónde sale o cómo la podemos mostrar y justo eso es lo que voy a hacer en el resto del vídeo bueno como tenemos una igualdad de razones a lo mejor sería buena idea encontrar triángulo semejantes y aquí pues tenemos los triángulos a b d y c b d pero aunque compartan este ángulo el ángulo aquí arribita en realidad no sabemos mucho más acerca de sus triángulos entonces como no sabemos casi nada no podemos concluir que son cosas que son semejantes y entonces la idea es construir otro triángulo que nos ayude a aprobar esta igualdad y una forma de hacer eso es prolongar esta bisectriz prolongar la bisectriz de acá la vice 3b de déjame prolongarla más o menos como por acá vale entonces esta es la continuación de la bisectriz y trazar una paralela a ave que pase por sé a lo mejor esta demostración que puede parecer un poco extraña y no entienda muy bien de dónde salen las ideas pero no te preocupes a mí también me pareció extraña la primera vez que la vamos a ver más o menos cuál es el plan entonces vamos a trazar la paralela ave que pasa por sí más o menos algo de este estilo de hannah ponerle color blanco para que la paralela se entienda que a de veras es paralela a ésta hay acá entonces ésta es paralela a ésta de acá vale lo voy a apuntar ave es paralela hace digamos df a este punto lo voy a llamar efe y entonces el chiste es que al hacer esto este ángulo empieza a brincar vale este ángulo es un ángulo de una transversal a estas dos paralelas y entonces por ángulos alternos internos este ángulo lo podemos pasar para acá vale bf es una transversal de las dos paralelas y este ángulo se pasa para acá pero observa este ángulo de aquí abajo es igual al de aquí arriba pero el ave de es igual al de bc porque justo b de la bisectriz entonces este ángulo es igual a éste y éste es igual a éste entonces bfc es congruente hace b efe estos dos ángulos son iguales por lo tanto en el triángulo bfc tenemos dos ángulos de esta base iguales y así el triángulo b efe fcc es un triángulo isósceles conversé con bc igual a cf entonces a la vez trazado está paralela podemos concluir podemos concluir que a veces se ve ese es igual a cf y esto está bien interesante porque bueno aquí en el teorema de la bisectriz queríamos involucrar involucrar involucrar acb o abc de alguna forma pero sin nada más teníamos dos triángulos semejantes digamos éste y éste entonces vez estaba muy abandonado pero bueno gracias a que encontramos esta igualdad de segmentos ahora estévez se lo podemos cambiar por un cf por un cf vale y entonces bastaría demostrar esta igualdad ave entre a de iguala cf entre cd pero bueno no quiero empezar con el teorema más bien quiero llegar al teorema entonces sigamos con lo que estábamos haciendo tenemos que ver ese es igual la cfs triángulos isósceles y lo que hicimos o bueno todo el plan era intentar mostrar que había un triángulo semejante al abb y un buen candidato es el cfd porque ya tienen estos dos ángulos en común entonces este angelito de acá y éste triangulito de acá parece que son semejantes y bueno llamas gustaría encontrar un ángulo más para que sea de veras fueran semejantes pero está bien fácil porque tienen este ángulo este ángulo ende opuesto por el betis entonces este ángulo de acá es igual este ángulo de acá los dos triángulos comparten dos ángulos y entonces bueno con eso comparten tres ángulos y por lo tanto son semejantes entonces déjame ponerlo aquí que el triángulo ave de ave es un triángulo semejante al y aquí es importante ir de nada azul rojo alce nada azul efe efe rojo de entonces el triángulo ave de es semejante al triángulo cf de por el criterio ángulo ángulo y con esto podemos aprovechar las razones entre los lados y a lo mejor con eso ya demostramos el problema de la bisectriz bueno vamos a ver que tenemos aquí queremos ave entre a de que sería este lado entre este lado si tenemos triángulo semejantes podemos comparar razones de helados correspondientes o bien tomar dos lados encontrar su razón y esa razón es igualar son de los lados correspondientes entonces vamos a ver cuando el ave entre a de con esta semejanza voyager de color naranja entonces ave ave entre a de entonces sería ave con adi vamos aquí a la semejanza para ver cuál es la razón correspondiente sería cf cf / / sede en 13 de entre s de ahí estoy está súper padre porque justo acabamos de aprobar que se efe es igual a b c entonces estoy aquí es igual a b c o bien podemos escribir o como se ve se ven en 13 de entonces ave entre a de ave entre a de desigual acb entre cd y eso es justo lo que queríamos demostrar va entonces todo salió muy bien y fue gracias a trazar está paralela de aquí entonces para para demostrar el tema de la bisectriz tuvimos que hacer dos cosas número uno traza está paralela y ver dónde interceptaba a la prolongación de la vice keys y número 2 a partir de eso de mostrar algunas cosas y de ahí salieron dos cosas bien importantes para empezar este ángulo por ser alterno interno con este paso para acá y nos permitió demostrar un y sociales de modo que bese era igual a cf y entonces pudimos meter a veces en la jugada pero más aún esa misma paralela nos permitió encontrar la semejanza de los ángulos a de b y c d e f entonces combinando esa semejanza con la igualdad de estos dos segmentos la el teorema de la bisectriz simplemente se convirtió en una consecuencia de la igualdad de ciertas razones