Demostración: rectas paralelas dividen lados de unl triángulo proporcionalmente

Nos dicen: "Demuestra que, si una recta es  paralela a uno de los lados de un triángulo,   entonces divide los otros dos lados de forma  proporcional". Pausa el video y ve si puedes   resolver esto, y es posible que quieras aprovechar  este diagrama. Muy bien, así que trabajemos juntos   en esto. Vamos a analizar el diagrama. Aquí vemos  que el segmento ED es paralelo al segmento CD,   entonces podemos escribir esto: el segmento ED || al segmento CB, el  segmento ED es al que nos estamos refiriendo,   es una recta o segmento de recta paralela  a un lado del triángulo. Por lo que,   dado lo que sabemos y lo que está descrito  aquí en el diagrama, necesitamos una forma   de demostrar que esto divide los otros dos lados  de forma proporcional. Otra forma de decir esto es   que la razón entre el segmento que está de este  lado del segmento ED y el segmento que está del   otro lado del segmento ED, en uno de los lados del  triángulo original, va a ser la misma en los dos   lados que interseca el segmento ED; así que esta  es otra forma de decir que divide los otros dos   lados de forma proporcional. Si vemos este lado  del triángulo y tomamos la longitud del segmento   AE entre la longitud del segmento EC esto debe  ser igual a la longitud del segmento AD entre   la longitud del segmento DB. Esta afirmación que  acabo de escribir es equivalente a lo que subrayé   aquí con respecto a este triángulo. Una forma  en la que podemos resolver esto es establecer   semejanza entre el triángulo AED y el triángulo  ACB. ¿Cómo podemos hacer esto? Bueno, debido a   que estas dos rectas son paralelas, podemos ver  al segmento AC como una transversal que interseca   dos rectas paralelas, lo que nos dice que estos  dos ángulos correspondientes serán congruentes,   así que escribimos que el ángulo 1 es congruente  con el ángulo 3 (∠ 1 ≅ ∠ 3), y las razones porque   ambos son ángulos correspondientes lo escribo  abreviado para ahorrar espacio. Y también sabemos   que el ángulo 2 es congruente con el ángulo  4 por la misma razón, entonces ∠ 2 ≅ ∠ 4,   una vez más porque son ángulos correspondientes.  Esta vez tenemos una transversal diferente y los   ángulos correspondientes en donde una transversal  interseca dos rectas paralelas. Ahora, si ves el   triángulo AED y el triángulo ACB verás que tienen  dos conjuntos de ángulos correspondientes que son   congruentes, y si tienen dos conjuntos de ángulos  correspondientes esto significa que todos los   ángulos son congruentes. Y realmente podemos ver  esto aquí, aunque tener dos ángulos es suficiente,   en realidad tienes un tercero aquí, ya que  el ángulo BAC es común a ambos triángulos. Y   entonces podemos decir que el triángulo AED es  semejante al triángulo ACB (Δ AED ~ Δ ACB) por   semejanza ángulo ángulo; y luego, dado que  estos dos son semejantes, entonces podemos   establecer una proporción. Eso nos dice que  la razón entre la longitud del segmento AE y   todo este lado AC es igual a la razón entre la  longitud del segmento AD y la longitud de todo   el segmento AB. Esto implica que -voy a escribir  esto a la derecha para aprovechar el espacio-,   esto es lo mismo que la razón de AE / AC y AC es  igual a la longitud de AE más la longitud de EC,   y luego esto será igual a la longitud del  segmento AD entre la longitud del segmento AB,   y su longitud es la longitud del segmento  AD más la longitud del segmento DB. Ahora,   lo que tengo que resolver es cómo manipular  esto algebraicamente para obtener lo que tenemos   aquí. Entonces, una forma en que podría tratar de  simplificar esto es multiplicar de forma cruzada,   que es equivalente a multiplicar los dos lados  por ambos denominadores, y lo hemos explicado   en otros videos. Entonces esto será igual a la  longitud del segmento AE multiplicada por las   longitudes de AD + DB, y esto debe ser igual a la  longitud de AD multiplicada por AE más la longitud   del segmento EC. Y puedo distribuir esto por aquí:  tengo la longitud del segmento AE por la longitud   del segmento AD, más la longitud del segmento  AE por la longitud del segmento DB, es igual a   la longitud del segmento AD por la longitud del  segmento AE, más la longitud del segmento AD por   la longitud del segmento EC. Y veamos, ¿hay algo  que pueda simplificar aquí? Tenemos AE por AD en   ambos lados -permíteme restar AE por AD en  ambos lados-, y entonces sólo queda que esto   es igual a esto. Y permíteme reescribir esto  mejor: tengo que (AE) (DB) = (AD) (EC). estas   son todas las longitudes de segmentos. Ahora,  si dividimos ambos lados entre EC tendremos   una EC aquí y esto se cancelará, y luego,  si dividimos ambos lados entre DB, esto se   cancelará y obtendremos DB aquí. Entonces, si sólo  manipulamos algebraicamente lo que teníamos acá,   nos queda que la longitud del segmento AE  entre la longitud del segmento EC es igual a   la longitud del segmento AD entre la longitud del  segmento DB, la longitud del segmento AD entre la   longitud del segmento DB, que es exactamente lo  que queríamos demostrar: que esta recta aquí,   que es paralela a este lado de acá, divide  los otros dos lados proporcionalmente.