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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:6:32

Demostración: rectas paralelas dividen lados de unl triángulo proporcionalmente

CCSS.Math:
HSG.SRT.B.4

Transcripción del video

nos dicen demuestra que si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo entonces divide los otros dos lados de forma proporcional pausa el vídeo y ver si puedes resolver esto y es posible que quieras aprovechar este diagrama muy bien así que trabajemos juntos en esto vamos a analizar el diagrama aquí vemos que el segmento ed es paralelo al segmento cde entonces podemos escribir esto el segmento d es paralelo al segmento cb el segmento n es al que nos estamos refiriendo es una recta o segmento de recta paralela a un lado del triángulo por lo que dado lo que sabemos y lo que está descrito aquí en el diagrama necesitamos una forma de demostrar que esto divide los otros dos lados de forma proporcional otra forma de decir esto es que la razón entre el segmento que está de este lado del segmento ed y el segmento que está del otro lado del segmento ed en uno de los lados del triángulo original va a ser la misma en los dos lados que intersecta el segmento ed así que esta es otra forma de decir que divide los otros dos lados de forma proporcional si vemos este lado del triángulo y tomamos la longitud del segmento hay entre la longitud del segmento s esto debe ser igual a la longitud del segmento a de entre la longitud del segmento dv esta afirmación que acabo de escribir equivalente a lo que subraya aquí con respecto a este triángulo una forma en la que podemos resolver esto es establecer semejanza entre el triángulo aed y el triángulo acb como podemos hacer esto bueno debido a que estas dos rectas son paralelas podemos ver al segmento hace como una transversal que intersecta dos rectas paralelas lo que nos dice que estos dos ángulos correspondientes serán congruentes así que escribimos que el ángulo 1 es congruente con el ángulo 3 y las razones porque ambos son ángulos correspondientes lo escribo abreviado para ahorrar espacio y también sabemos que el ángulo 2 es congruente con el ángulo 4 por la misma razón entonces el ángulo 2 es congruente con el ángulo 4 una vez más porque son ángulos correspondientes esta vez tenemos una transversal diferente y los ángulos correspondientes en donde una transversal intersec a dos rectas paralelas si ves el triángulo aede y el triángulo acb verás que tienen dos conjuntos de ángulos correspondientes que son congruentes y si tienen dos conjuntos de ángulos correspondientes esto significa que todos los ángulos son congruentes y realmente podemos ver esto aquí aunque tener dos ángulos es suficiente en realidad tienes un tercero aquí ya que el ángulo b hace es común a ambos triángulos y entonces podemos decir que el triángulo a hebe es semejante al triángulo acb por semejanza ángulo ángulo y luego dado que estos dos son semejantes entonces podemos establecer una proporción eso nos dice que la razón entre la longitud del segmento y todo este lado hace es igual a la razón entre la longitud del segmento ade y la longitud de todo el segmento ave esto implica que voy a escribir esto a la derecha para aprovechar el espacio esto es lo mismo que la razón de aee entre hace y hace es igual a la longitud de a en más la longitud de s y luego esto será igual a la longitud del segmento a de entre la longitud del segmento ave y su longitud es la longitud del segmento a de más la longitud del segmento debe ahora lo que tengo que resolver es cómo manipular esto algebraica mente para obtener lo que tenemos aquí entonces una forma en que podría tratar de simplificar esto es multiplicar de forma cruzada que es equivalente a multiplicar los dos lados por ambos denominadores y lo hemos explicado en otros vídeos entonces esto será igual a la longitud del segmento multiplicada por las longitudes de a de más de b y esto debe ser igual a la longitud de a de multiplicada por a&e más la longitud del segmento s y puedo distribuir esto por aquí tengo la longitud del segmento a por la longitud del segmento ave más la longitud del segmento a por la longitud del segmento debe es igual a la longitud del segmento adén por la longitud del segmento a más la longitud del segmento a d por la longitud del segmento s y veamos hay algo que pueda simplificar aquí tenemos por ade en ambos lados permíteme restar por ade en ambos lados y entonces sólo queda que esto es igual a esto y permíteme reescribir esto mejor tengo que por db es igual a ade por s estas son todas las longitudes de segmentos ahora si dividimos ambos lados entre s tendremos una s aquí y esto se cancelará y luego si dividimos ambos lados entre debe esto se cancelará y obtendremos debe aquí entonces si sólo manipulamos algebraica mente lo que teníamos acá nos queda que la longitud del segmento hay entre la longitud del segmento s es igual a la longitud del segmento a de entre la longitud del segmento debe la longitud del segmento a de entre la longitud del segmento debe que es exactamente lo que queríamos demostrar que esta recta aquí que es paralela a este lado de acá divide los otros dos lados proporcionalmente