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Demostración del teorema de Pitágoras usando semejanza

CCSS.Math:
HSG.SRT.B.4

Transcripción del video

aquí tenemos un triángulo rectángulo es un triángulo rectángulo puedes ver que tiene un ángulo recto en la esquina y por eso por eso es llamado triángulo rectángulo ahora el lado más largo de este triángulo llamamos la hipotenusa ese lado puedes verla como lado más largo o como el lado opuesto al ángulo de 90 grados entonces esa es la hipotenusa es una palabra bastante elegante para una idea tan sencilla bueno al menos así yo lo considero ese es el lado más largo del triángulo rectángulo o el lado opuesto al ángulo recto si tú escuchas la palabra hipotenusa si tú dices o perfecto perfecto bueno simplemente están hablando de del lado de ese lado del triángulo rectángulo ahora bien lo que yo quiero hacer en este vídeo es probar la relación de hecho es una relación bastante famosa que hay entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo entonces digamos que este segmento hace tiene longitud a digamos que el segmento b se tiene longitud d finalmente que la hipotenusa la longitud del segmento ave tiene longitud ce entonces este éste tiene longitud c ahora veamos si podemos llegar a una relación entre ave y 6 para hacer esto primero voy a construir una línea un segmento mejor dicho entonces construyó un segmento entre 6 la hipotenusa y la construyó de tal manera que se intersectan de manera perpendicular forma un ángulo recto y llamamos a ese punto d entonces bueno esto siempre se puede hacer como simplemente tú imagina imaginar rotar este triángulo ajá solo para que te des una idea de cómo siempre puedes construir un punto así entonces ya lo rotem está la hipotenusa abajo este punto este punto es el punto b este punto es a y bueno simplemente lo rote este punto es el punto ce imagina tirar una roca con un hilo desde desde el punto se va a caer de manera perpendicular sobre la hipotenusa y eso fue básicamente lo que hicimos para establecer ade en el segmento ave y la razón por la que yo hice eso es porque ahora puedo hacer varias relaciones entre tres triángulos entre semejanza de triángulos porque tenemos tres triángulos del triángulo a desde el triángulo de bc y el triángulo grande el original y vamos a establecer similitud entre estos tres triángulos y primero te voy a mostrar que el triángulo ha de ser el triángulo adc es similar al triángulo grande porque ambos tienen un ángulo recto el triángulo adese tiene este ángulo recto y estos ángulos claramente son suplementarios porque suman 180 dos ángulos rectos suman 180 así que ambos tienen un ángulo recto el triángulo pequeño tiene un ángulo recto el triángulo original bueno claramente es un triángulo rectángulo así que bueno por en decir un ángulo recto y también ambos comparten este ángulo en el vértice a entonces el ángulo de hace o el ángulo b hace como lo quieras ver es el ángulo que comparten así que podemos escribir que el triángulo bueno voy a iniciar con el más pequeño este triángulo puse con sombra verde entonces ok el triángulo adc voy a escribir esto aquí el triángulo abc es similar al triángulo voy a iniciar con el con orden de de de ángulos entonces el triángulo el triángulo a lo voy a este ángulo el triángulo acb acp y como son similares podemos establecer una relación entre las razones de sus lados por ejemplo sabemos que la razón entre las dos correspondientes bueno de hecho de hecho en general para similitud de triángulos sabemos que la razón entre las dos correspondientes será una constante entonces podemos tomar la razón de la hipotenusa de este triángulo el menor la hipotenusa es hace entonces tenemos hace sobre la hipotenusa del triángulo grande la cuál sabe hace sobre ave esto es igual a hace a des uno de los lados ajá estoy tomando segmentos similares de ambos triángulos y tendríamos entonces hace sobre ave es igual a ade sobre hace observar los triángulos y tratar de estudias o genial ade está en el en el en el ángulo azul y el ángulo recto entonces el lado hace está entre el ángulo azul y el ángulo recto pero del triángulo mayor y si es confuso esto para ti simplemente observa la similitud y bueno ahí vas a encontrar segmentos correspondientes a se corresponde a ave en el triángulo grande y adem en el triángulo pequeño corresponde a hace en el triángulo grande es lo que está pasando a se corresponde a ve a de corresponde a hacer ya lo tenemos esa igualdad entonces bueno vamos a seguir sabemos que hace corresponde a minúscula a se corresponde a minúscula acá tenemos otro hace esto es a y no tenemos etiqueta para el segmento a de tampoco para ave 'nos y de hecho para ver si tenemos ave es igual a c tiene longitud c entonces pero pero no tenemos para a de así que bueno hay que hay que etiquetarlo llamémosle al segmento a de con de minúscula esto es a de y todo esto todo esto es que entonces también para el segmento de bella memos lea ese segmento y eso facilita las cosas entonces tenemos que sobresee es igual a d sobre a y si multiplicamos cruzado tenemos que apurar lo cual es al cuadrado es igual a ceder y es un resultado bastante interesante ahora vamos a ver veamos qué podemos hacer con el otro triángulo con este triángulo podemos ver que tiene un ángulo recto cierto entonces tiene un ángulo recto y el triángulo grande también tiene un ángulo recto ahora ambos comparten este ángulo entonces por similitud de ángulo ángulo los triángulos serán similares y podemos decir que los triángulos los triángulos b deseen este triángulo obedece uso el orden de los ángulos entonces el triángulo bdc es similar al triángulo veces a de del ángulo rosa puig del ángulo rosa al ángulo recto y después voy al ángulo en el vértice am y ya con esto lo que sigue lo que sigue es relacionarlos podemos decir que la razón la razón en el triángulo menor aquí empecé el segmento veces sobre el segmento vean estoy tomando simplemente soy tomando las hipotenusa que corresponden a cada cada triángulo entonces veces sobre b y aquí voy a tomar otro color veces sobre vean es igual al segmento b d sobre el segmento bc entonces verde sobre el segmento bc simplemente tomó los vértices correspondientes y aquí ya tengo que veces veces ve desees ve ve a ese entonces ve a ese y bebe es y ahora lo que lo que sigue es multiplicar cruzado como lo hicimos anteriormente y nos quedaría entonces que ve por ver es ve al cuadrado esto será igual como lo hicimos si es lo mismo lo mismo entonces ve al cuadrado es igual a c esto es igual a c y ahora sigo lo interesante porque podemos sumar estos dos podemos sumar lo voy a escribir acá abajo para que quede más claro entonces tenemos que ve al cuadrado más x si sumamos tenemos tenemos al cuadrado más de al cuadrado más b al cuadrado esto es igual hace por de c por de más se pone simplemente estoy sumando estoy sumando normal y tenemos una c en ambos términos de del lado derecho así que vamos a factorizar lo esto será igual hace por de más y de más pero que esté más que es de más de esta longitud y en esta longitud entonces demás es igual a c así que esto es cm y se porte es igual hace al cuadrado esto es igual a sea al cuadrado y tenemos tenemos al cuadrado más b al cuadrado es igual hace al cuadrado eso te parece te parece algo familiar no tenemos al cuadrado voy a escribirlo bien acabamos de establecer establecer que que al cuadrado más b al cuadrado es igual a c al cuadrado y lo cual aplica para bueno de hecho aplicó para un triángulo arbitrario entonces acabamos de establecer que la suma de los cuadrados de cada uno de los lados es igual al cuadrado de la hipotenusa lo cual es uno de los de los teoremas más famosos que hay en matemáticas nombrado por pitágoras esto fue por pitágoras no sé no sé si él fue el primero en llegar a esto pero pero si es una base si es un pilar fundamental para la geometría y para la trigonometría de hecho si sabes si conoces dos de los lados de un triángulo puede podrás saber cuánto mide el otro lado gracias a este gran teorema a muchísimo teorema de pitágoras