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Geometría
Curso: Geometría > Unidad 10
Lección 1: Objetos bidimensionales versus tridimensionales- Preparación para geometría de sólidos
- Vocabulario de geometría de sólidos
- Homotecia en 3D
- Rebanar una pirámide rectangular
- Secciones transversales de objetos en 3D (básico)
- Maneras de hacer secciones transversales de un cubo
- Secciones transversales de objetos en 3D
- Rotar figuras 2D en 3D
- Rota figuras de 2D en 3D
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Homotecia en 3D
Las secciones transversales de una pirámide paralelas a su base son homotecias de la base respecto al ápice con factores de escala de 0 a 1. Creado por Sal Khan.
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Transcripción del video
Digamos que tengo algún tipo de superficie. Esto
que estoy dibujando es la parte superior de un escritorio, y voy a dibujar un triángulo en esta
superficie, así que tal vez el triángulo se ve así. No tiene que ser un triángulo rectángulo, no
estoy insinuando que éste sea necesariamente un triángulo rectángulo, aunque se parece un poco
a uno. Llamémoslo triángulo ABC. Ahora, lo que voy a hacer es algo interesante, voy a tomar
un cuarto punto P que no está en la superficie de este escritorio, va a estar justo por encima
del punto B. Así que permíteme dibujar ese punto que está directamente arriba, y voy a llegar al
punto P. Ahora lo que puedo hacer es construir una pirámide usando el punto P como la punta de esa
pirámide. Vamos a comenzar a pensar en qué es lo que sucede si tomo secciones transversales de esta
pirámide. En este caso la longitud del segmento PB es la altura de esta pirámide. Ahora, si fuéramos
a la mitad de esa altura e hiciéramos una sección transversal de esta pirámide paralela a la
superficie de nuestro escritorio, ¿cómo se vería eso? Pues se vería algo así. Quizás estás notando
algo realmente interesante. Si trasladamos ese triángulo azul directamente sobre la superficie
del escritorio se vería así, y cuando lo ves de esa manera parece que es una homotecia de nuestro
triángulo original centrado en el punto B. Y de hecho es una homotecia centrada en el punto B con
un factor de escala de 0.5, y puedes verla justo aquí, esta longitud justo aquí, disminuyó a la
mitad de la longitud del segmento BC original. Esta es la mitad de la longitud del segmento AB
original y luego esta es la mitad de la longitud del segmento AC original. Y podemos hacer esto a
otras alturas a lo largo de esta pirámide. ¿Qué pasaría si tuviéramos que ir 0.75 del camino entre
P y B? Si tuviéramos que llegar justo aquí para estar más cerca de nuestro triángulo original,
entonces la sección transversal se vería así. Ahora, si tuviéramos que trasladar eso a nuestra
superficie original, ¿cómo se vería? Se vería así, como una homotecia de nuestro triángulo original
centrado en el punto B, pero esta vez con un factor de escala de 0.75. Y luego, ¿qué pasa si
vamos solamente una cuarta parte del camino entre el punto P y el punto B? Bueno, entonces verías
algo como esto. Dibujamos la sección transversal paralela a la superficie original a una cuarta
parte de la altura y se verá así. Si tuvieras que trasladar esto directamente sobre nuestra
superficie, se vería algo así, y se ve como una homotecia centrada en el punto B con un factor de
escala de 0.25. Y la razón por la cual todas estas homotecias se ven como homotecias centradas en
el punto B es porque el punto P está directamente sobre el punto B. Pero esta es una forma de
conceptualizar homotecias o ver la relación entre las secciones transversales de una figura
tridimensional -en este caso una pirámide- y cómo esas secciones transversales se relacionan con la
base de la pirámide. Ahora permíteme hacerte una pregunta interesante: ¿qué pasaría si tratara
de tomar una sección transversal justo en el punto P? Bueno, entonces obtendría un punto, no
obtendría un triángulo real, pero podrías verlo como una homotecia con un factor de escala de 0.
¿Y qué pasaría si tuviera que tomar una sección transversal en la base? Entonces tendríamos
el triángulo original, el triángulo ABC, que puedes verlo como una homotecia con un factor
de escala de 1 porque has recorrido todo el camino hasta la base. Así que espero que esto te ayude
a conceptualizar las secciones transversales de una figura en tres dimensiones, que son paralelas
a la base, y cómo se relacionan con la homotecia.