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Curso: Geometría > Unidad 10

Lección 3: Volumen y área de la superficie
Matemáticas
Geometría
Geometría de sólidos
Volumen y área de la superficie
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Volumen de figuras compuestas

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¡Es hora de mezclar y combinar!  Ahora que podemos calcular el volumen en varias formas básicas, combinémoslas para ver cómo modelamos figuras reales más interesantes y útiles.

Volumen compuesto

Se muestra un prisma rectangular con un hemisferio eliminado de la parte superior.
Se muestra una figura parecida a un prisma que parece un prisma rectangular recto, pero tiene una arista larga que es curva.
Se muestra un prisma rectangular con un prisma triangular en el lado izquierdo y un prisma triangular recto en el lado derecho.
¡Es hora de mezclar y combinar! Ahora que podemos calcular el volumen de varias formas básicas, combinémoslas para ver cómo modelamos figuras reales más interesantes y útiles.

Restar para obtener volumen

Un cilindro se ha perforado en este bloque para permitir que lo atraviese una barra. Todas las mediciones están en milímetros. Calculemos el volumen restante del bloque.
Se muestra un prisma rectangular con una longitud de siete unidades, un ancho de once unidades y una altura de nueve unidades. Hay un espacio en forma de cilindro con un radio de tres y una longitud de once en el prisma rectangular.

Subdividir la figura

La figura se compone de un prisma rectangular con un cilindro eliminado.

Calcular los volúmenes por separado

¿Cuál es el volumen del prisma rectangular?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
mm3

¿Cuál es el volumen del cilindro?
  • Tu respuesta debe ser
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
mm3

Restar para obtener el volumen total

Restemos para obtener el volumen.
¿Cuál es el volumen restante en el bloque?
Escoge 1 respuesta:

Sumar para obtener volumen

Consideremos el volumen de una tienda de campaña con las siguientes dimensiones. Todas las medidas están en metros. La base de la tienda es un rectángulo.
Se muestra un diagrama de una tienda. La cara de abajo es un rectángulo con un ancho de doce unidades y una longitud de cuatro unidades. Las caras de adelante y atrás son cuadriláteros que comparten entre sí una arista de ocho unidades de largo arriba y cada uno comparte una arista de doce unidades de largo con la cara rectangular. La arista superior de la tienda está seis unidades por encima y paralela a la cara rectangular. Las caras izquierda y derecha son triángulos que comparten cada uno una arista de cuatro unidades con la cara rectangular.

Subdividir la figura

Se ve parecido a un prisma triangular, pero el fondo sobresale demasiado. Podemos dividir esta figura en el prisma triangular y dos mitades de una pirámide.
Se muestra el diagrama de la tienda cortado en tres figuras, un prisma triangular y dos mitades de una pirámide. En el prisma triangular, las caras del triángulo tienen una base de cuatro unidades y una altura de seis unidades. La altura es de ocho unidades. En las dos mitades de la pirámide, la longitud de la base es de cuatro unidades y la altura es de seis unidades.

Calcular los volúmenes separados

Empecemos con el volumen del prisma triangular. El volumen de todo prisma es (área de la base)(altura).
¿Cuál es el área de la base triangular?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
m3

¿Cuál es el volumen del prisma triangular?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
m3

Ahora podemos calcular el volumen de la pirámide. Combinemos las dos mitades de pirámide y obtengamos el volumen de la pirámide entera.
Se muestra una pirámide que es la combinación de dos medias pirámides.
El volumen de toda pirámide es 13(área de la base)(altura).
¿Cuál es el área de la base rectangular de toda la pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
m3

¿Cuál es el volumen de toda la pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
m3

Suma para obtener el volumen total

Finalmente, podemos sumar los volúmenes del prisma triangular y de la pirámide para obtener el volumen total de la tienda.
¿Cuál es el volumen de la tienda?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
m3

Problema de desafío

Un lápiz afilado se forma como un cono circular recto unido a un cilindro, cada uno con el mismo radio. El largo del lápiz, incluyendo la punta, es 190mm, y el área de la base sin afilar es 40mm2. El volumen del lápiz es 7,040mm3.
Queremos obtener la longitud p de la parte afilada del lápiz.
Se muestra un lápiz que está representado por un cilindro delgado y un cono unido a una de sus bases. La altura del cono tiene una longitud de p unidades. La longitud del lápiz completo es de ciento noventa unidades.

Expresar los volúmenes en términos de la incógnita

Escribe una expresión para el volumen del cono en términos de p.

Escribe una expresión para la altura del cilindro en términos de p.

Escribe una expresión para el volumen del cilindro en términos de p.

Escribe una expresión para el volumen completo del lápiz en términos de p.

Despejar la incógnita

Ahora podemos establecer tu expresión para el volumen del lápiz igual al volumen numérico, 7,040mm3, y despejar p.
¿Cuál es la longitud p de la porción afilada del lápiz?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
mm

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