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Geometría

Curso: Geometría > Unidad 10

Lección 2: Principio de Cavalieri y métodos de seccionamiento
Matemáticas
Geometría
Geometría de sólidos
Principio de Cavalieri y métodos de seccionamiento
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Volumen de una pirámide o de un cono

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¿De dónde sale el 1/3 en la fórmula para el volumen de una pirámide? ¿Cómo se relaciona con el volumen de un cono? ¿Qué pasa con las pirámides oblicuas (las que se inclinan a un lado)?

¿Qué son pirámides y conos?

Una pirámide es la colección de todos los puntos entre (e inclusive) una base en forma de polígono y un ápice que está en un plano diferente al de la base.
Se muestra una pirámide inclinada donde la base es un rectángulo. La base está etiquetada como base. La punta de la pirámide está etiquetada como ápice.
Se muestra una pirámide inclinada donde la base es un triángulo. La base está etiquetada como base. La punta de la pirámide está etiquetada como ápice.
Otra manera de pensar en una pirámide es como una colección de todas las homotecias de la base, con el ápice como centro de homotecia, con factores de escala de 0 a 1.
Se muestra una pirámide pentagonal y una pirámide pentagonal inclinada. Ambas tienen el mismo número de secciones transversales.
Un cono es una figura piramidal, o en forma de pirámide, cuya base es un círculo u otra curva cerrada en lugar de un polígono. Un cono tiene una superficie lateral curva en lugar de varias caras triangulares; pero en términos de volumen, un cono y una pirámide son similares.
Se muestra un cono invertido.

Volumen de una pirámide

La fórmula para el volumen V de una pirámide es V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, l, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis. ¿De dónde sale esa fórmula?

¿De dónde sale start fraction, 1, divided by, 3, end fraction en la fórmula?

Supongamos que empezamos con un cubo cuya longitud lateral es 1 unidad. Podemos rebanar ese cubo en 3 pirámides congruentes.
Problema 1
¿Cuál es el volumen de cada pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
unidades cúbicas

Escalar la pirámide

Escalar una pirámide funciona exactamente de la misma manera que escalar el prisma que la encierra. Cuando escalamos una pirámide con volumen V, start subscript, start text, n, o, space, e, s, c, a, l, a, d, o, end text, end subscript por los factores de r, s y t en tres direcciones perpendiculares, entonces el volumen V, start subscript, start text, e, s, c, a, l, a, d, o, end text, end subscript de la figura escalada es V, start subscript, start text, n, o, space, e, s, c, a, l, a, d, o, end text, end subscript, r, s, t.
Se muestra un prisma rectangular. Hay tres flechas que se extienden desde el prisma rectangular, una desde la longitud, otra desde la altura y otra desde el ancho de la base.
Se muestra una pirámide rectangular. Tres flechas se extienden desde la pirámide, una desde el ápice y una desde la longitud y el ancho de la base.
Problema 2
La siguiente pirámide es una versión escalada de la pirámide anterior con base cuadrada, en la que se utilizan diferentes factores de escala para cada dimensión.
Se muestra una pirámide rectangular oblicua con una cara que es un triángulo rectángulo. Esta cara tiene una base de seis centímetros y una altura de siete punto cinco centímetros. Su base rectangular tiene una longitud de seis centímetros y un ancho de dos centímetros.
¿Cuál es el volumen de la pirámide con base rectangular?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, c, m, end text, cubed

idea clave: el volumen de una pirámide sigue siendo start fraction, 1, divided by, 3, end fraction del volumen del prisma que la encierra, incluso después que escalamos ambos.

Deslizar las rebanadas

Imagina que rebanamos la pirámide en capas paralelas a su base. Podemos deslizar esas capas sin cambiar el volumen. A medida que el número de capas se acerca a infinito, nuestra pirámide remodelada se suaviza.
Se muestra una serie de pirámides rectangulares. La primera pirámide es una pirámide rectangular oblicua donde la parte de arriba de la pirámide se inclina hacia la izquierda. Se ha cortado en cuatro secciones, que se han reordenado de manera menos inclinada en la segunda pirámide. De izquierda a derecha, las pirámides tienen más secciones que son paralelas a la base. La pirámide final tiene un número infinito de secciones transversales de manera que parece una pirámide rectangular recta lisa.
El principio de Cavalieri dice que mientras no cambiemos la altura ni las áreas de secciones transversales paralelas a la base de la pirámide, ¡tampoco cambiamos el volumen! Podemos utilizar la misma fórmula para el volumen de la pirámide sin importar dónde movamos el ápice.
Problema 3
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, m, end text, cubed

Cambiar la forma de la base

Hay otra aplicación realmente fascinante del principio de Cavalieri a las pirámides. Dos bases pueden tener la misma área y formas totalmente diferentes. Si la altura y el área de la base de dos pirámides o sólidos en
son iguales, también lo son sus volúmenes, pues las áreas de todas las demás secciones transversales paralelas a la base también deben ser iguales.
Entonces nuestra fórmula V, start subscript, start text, p, ı, with, \', on top, r, a, with, \', on top, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, l, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis funciona, sin importar la forma 2D que tenga la base.
Problema 4.1
  • Corriente
La base de la siguiente pirámide es un triángulo rectángulo isósceles.
Se muestra una pirámide con una base que es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden catorce centímetros. Tiene una altura vertical de veintisiete centímetros. La arista de las caras triangulares que se conectan con la hipotenusa y el lado de su base triangular rectangular tiene una longitud de veintinueve centímetros.
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, c, m, end text, cubed

Obtener start fraction, 1, divided by, 3, end fraction de otra manera

Otra manera en que los matemáticos como tú se han convencido que el volumen de una pirámide es start fraction, 1, divided by, 3, end fraction del volumen del prisma que la contiene es al aproximar el volumen con prismas.
Podemos modelar una pirámide como una pila de prismas, como al construir una pirámide con bloques. El volumen de este modelo es mayor que el de la pirámide. A medida que hacemos capas más y más finas, nos acercamos cada vez más al volumen de la pirámide.
Número de capasstart fraction, start text, V, o, l, u, m, e, n, space, d, e, space, l, a, space, a, p, r, o, x, i, m, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, space, p, i, r, a, with, \', on top, m, i, d, e, space, d, e, space, b, l, o, q, u, e, s, end text, divided by, start text, V, o, l, u, m, e, n, space, d, e, l, space, p, r, i, s, m, a, end text, end fraction
4approximately equals, 0, point, 469
16approximately equals, 0, point, 365
64approximately equals, 0, point, 341
256approximately equals, 0, point, 335
1024approximately equals, 0, point, 334
4096approximately equals, 0, point, 333
infinitystart fraction, 1, divided by, 3, end fraction
Como las figuras prismáticas pueden tener cualquier figura cerrada 2D en sus bases, y como podemos inclinar el prisma sin cambiar su volumen, la razón es válida para todas las figuras piramidales, incluyendo a los conos.

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