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Geometría
Curso: Geometría > Unidad 10
Lección 2: Principio de Cavalieri y métodos de seccionamiento- Principio de Cavalieri en 2D
- Principio de Cavalieri en 3D
- Principio de Cavalieri en 3D
- Aplica el principio de Cavalieri
- Intuición para el volumen de pirámides
- Volumen de una pirámide o de un cono
- Intuición para el volumen de conos
- Utilizar volúmenes relacionados
- Utiliza volúmenes relacionados
- Volumen de prismas y pirámides
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Volumen de una pirámide o de un cono
¿De dónde sale el 1/3 en la fórmula para el volumen de una pirámide? ¿Cómo se relaciona con el volumen de un cono? ¿Qué pasa con las pirámides oblicuas (las que se inclinan a un lado)?
¿Qué son pirámides y conos?
Una pirámide es la colección de todos los puntos entre (e inclusive) una base en forma de polígono y un ápice que está en un plano diferente al de la base.
Otra manera de pensar en una pirámide es como una colección de todas las homotecias de la base, con el ápice como centro de homotecia, con factores de escala de 0 a 1.
Un cono es una figura piramidal, o en forma de pirámide, cuya base es un círculo u otra curva cerrada en lugar de un polígono. Un cono tiene una superficie lateral curva en lugar de varias caras triangulares; pero en términos de volumen, un cono y una pirámide son similares.
Volumen de una pirámide
La fórmula para el volumen V de una pirámide es V, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, l, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis. ¿De dónde sale esa fórmula?
¿De dónde sale start fraction, 1, divided by, 3, end fraction en la fórmula?
Supongamos que empezamos con un cubo cuya longitud lateral es 1 unidad. Podemos rebanar ese cubo en 3 pirámides congruentes.
Escalar la pirámide
Escalar una pirámide funciona exactamente de la misma manera que escalar el prisma que la encierra. Cuando escalamos una pirámide con volumen V, start subscript, start text, n, o, space, e, s, c, a, l, a, d, o, end text, end subscript por los factores de r, s y t en tres direcciones perpendiculares, entonces el volumen V, start subscript, start text, e, s, c, a, l, a, d, o, end text, end subscript de la figura escalada es V, start subscript, start text, n, o, space, e, s, c, a, l, a, d, o, end text, end subscript, r, s, t.
idea clave: el volumen de una pirámide sigue siendo start fraction, 1, divided by, 3, end fraction del volumen del prisma que la encierra, incluso después que escalamos ambos.
Deslizar las rebanadas
Imagina que rebanamos la pirámide en capas paralelas a su base. Podemos deslizar esas capas sin cambiar el volumen. A medida que el número de capas se acerca a infinito, nuestra pirámide remodelada se suaviza.
El principio de Cavalieri dice que mientras no cambiemos la altura ni las áreas de secciones transversales paralelas a la base de la pirámide, ¡tampoco cambiamos el volumen! Podemos utilizar la misma fórmula para el volumen de la pirámide sin importar dónde movamos el ápice.
Cambiar la forma de la base
Hay otra aplicación realmente fascinante del principio de Cavalieri a las pirámides. Dos bases pueden tener la misma área y formas totalmente diferentes. Si la altura y el área de la base de dos pirámides o sólidos en son iguales, también lo son sus volúmenes, pues las áreas de todas las demás secciones transversales paralelas a la base también deben ser iguales.
Entonces nuestra fórmula V, start subscript, start text, p, ı, with, \', on top, r, a, with, \', on top, m, i, d, e, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, left parenthesis, start text, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, l, a, space, b, a, s, e, end text, right parenthesis, left parenthesis, start text, a, l, t, u, r, a, end text, right parenthesis funciona, sin importar la forma 2D que tenga la base.
Obtener start fraction, 1, divided by, 3, end fraction de otra manera
Otra manera en que los matemáticos como tú se han convencido que el volumen de una pirámide es start fraction, 1, divided by, 3, end fraction del volumen del prisma que la contiene es al aproximar el volumen con prismas.
Podemos modelar una pirámide como una pila de prismas, como al construir una pirámide con bloques. El volumen de este modelo es mayor que el de la pirámide. A medida que hacemos capas más y más finas, nos acercamos cada vez más al volumen de la pirámide.
Número de capas | start fraction, start text, V, o, l, u, m, e, n, space, d, e, space, l, a, space, a, p, r, o, x, i, m, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, space, p, i, r, a, with, \', on top, m, i, d, e, space, d, e, space, b, l, o, q, u, e, s, end text, divided by, start text, V, o, l, u, m, e, n, space, d, e, l, space, p, r, i, s, m, a, end text, end fraction |
---|---|
4 | approximately equals, 0, point, 469 |
16 | approximately equals, 0, point, 365 |
64 | approximately equals, 0, point, 341 |
256 | approximately equals, 0, point, 335 |
1024 | approximately equals, 0, point, 334 |
4096 | approximately equals, 0, point, 333 |
infinity | start fraction, 1, divided by, 3, end fraction |
Como las figuras prismáticas pueden tener cualquier figura cerrada 2D en sus bases, y como podemos inclinar el prisma sin cambiar su volumen, la razón es válida para todas las figuras piramidales, incluyendo a los conos.
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- ¿Qué tan importante son hallar los volúmenes de las pirámides?(3 votos)
- Es importante porque gracias al volumen podremos saber la capacidad de un recipiente. En este caso, la de nuestra pirámide. ¡Importante! Recuerden las unidades de medida.(2 votos)
- ¿Cuál lapiz mide
3
1
2
pulgadas (in)
3
2
1
pulgadas (in)3, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, start text, space, p, u, l, g, a, d, a, s, space, left parenthesis, i, n, right parenthesis, end text?
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