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Utilizar volúmenes relacionados

Utiliza volúmenes relacionados (usar el volumen de una figura para determinar el volumen de otra). Creado por Sal Khan.

Transcripción del video

Se nos dice que: "Todas las figuras  tienen la misma altura. Todas las figuras,   excepto B, tienen bases cuadradas". Esta  es una base cuadrada, este es un cuadrado,   este es un cuadrado y este es un cuadrado. "Todas  las figuras, excepto C, son prismas." Sí, C es una   pirámide, justo aquí. "Todas las figuras, excepto  D, están derechas." Puedes ver que D, justo aquí,   está un poco inclinado, o puedes verlo como  oblicuo. "Todas las figuras, excepto E, tienen la   misma área de base. La base de la figura E es una  homotecia de la base de la figura A, con un factor   de escala de 1.5." Muy bien, entonces nos dicen  que: "Si la figura A tiene un volumen de 28 cm³,   ¿cuáles son los volúmenes de las otras figuras?"  Así que te invito a que pauses el video y veas si   puedes resolverlo por tu cuenta. Muy bien, ahora  trabajemos juntos en esto. Nos dicen que varias de   las figuras tienen la misma base, aunque la figura  E es diferente, y también nos dicen que todas las   figuras tienen la misma altura. Entonces, una  forma de pensar en el volumen es tratar con la   base y la altura. Para la figura A es bastante  claro; llamemos a esta área de aquí d minúscula,   que es el área de la base, y luego tenemos  cierta altura h, justo aquí, y sabemos que   multiplicar el área de la base por la altura  nos dará el volumen. Así que podemos decir que,   con base en la figura A, b • h = 28 cm³. Muy bien,  y ¿qué pasa aquí con la figura B? Bueno, es un   cilindro, ¿y cuál es el volumen de un cilindro?  Bueno, también va a ser la base por la altura,   entonces será el área de la base por la altura,  y si se preguntan ¿cómo es posible que el volumen   del cilindro sea igual al del prisma rectangular?  En realidad ese es el Principio de Cavalieri:   si ambas figuras tienen la misma altura y si en  cualquier punto de esa altura tienen la misma área   de sección transversal, entonces tendrá el mismo  volumen. Por lo que este volumen también va a ser   igual a la base por la altura. Permíteme escribir  que esta es la figura A, la figura B aquí,   el volumen de la figura B también será la b • h  que es igual a 28 cm³, el volumen de esto es igual   a esto y el volumen de esto es igual a esto. ¿Y  qué hay de la figura C? ¿Cuál es la fórmula para   el volumen de una pirámide? En otros videos ya la  hemos intuido y demostrado. Bueno, sabemos que el   volumen de una pirámide es igual a 1/3 b • h, y  sabemos que tiene la misma área de base que estas   otras figuras aquí, y tiene la misma altura,  entonces sabemos que la base por la altura son   28 cm³, por lo que el volumen de la pirámide es  1/3 • 28 cm³, que podemos escribir como 28 / 3   cm³ y también puedes escribir lo como 9 1/3 cm³.  Esto corresponde a la figura C. Ahora pensemos en   la figura D, lo haré por aquí. Bueno, para este  prisma inclinado, el Principio de Cavalieri nos   va a servir nuevamente, tendrá la misma fórmula  para el volumen que la figura A, será la base por   esta altura, así que podemos escribir que  el v = b • h, y ya sabemos lo que es eso:   la base por la altura será igual que en la  figura A, 28 cm³. Ahora pasemos a la figura E;   este es interesante porque tiene un área de base  diferente. ¿Cuál será el área justo aquí? Bueno,   nos dicen que la base de la figura E es una  homotecia de la base de la figura A, con un factor   de escala de 1.5, y ambas son cuadradas. Entonces,  el área de la base para la figura A es, digamos x   • x, entonces esta de aquí va a ser 1.5x • 1.5x.  Otra forma de pensar en esto es: sabemos que b,   que es el área de la base de la figura A, es igual  a x • x, ¿cuál es el área de la base de la figura   E? Bueno, será 1.5x • 1.5x que es igual a 1.5x²,  1.5x² es 2.25x², y ya sabemos que x², o x • x = b,   es igual a nuestra área base original en todas  estas otras figuras, por lo que el área de aquí   va a ser 2.25 • b -2.25 • b-, entonces 2.25 • b es el  área de la base justo aquí. ¿Y cuál es el volumen   de esta figura? El volumen va a ser el área de  la base, que es 2.25 por el área de las bases   de todas estas otras figuras, por la altura, que  es la misma, por h. Ahora sabemos que es b • h,   donde b es el área de la base de la figura A.  Sabemos que b • h es 28 cm³, entonces el volumen   para la figura E será 2.25 • 28 cm³, y no tengo  calculadora aquí, aunque puedo hacer el cálculo   a mano, pero creo que ya tienes la idea general:  tienes que multiplicar 2.25 • 28 para obtener el   volumen de la figura E, y eso es porque su base  ha sido escalada en cada dimensión por 1.5.