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Contenido principal

Rotación de figuras alrededor del origen por múltiplos de 90°

Aprende a trazar la imagen de una determinada figura con una rotación al rededor del origen por cualquier múltiplo de 90°.

Introducción

En este artículo practicaremos el arte de rotar formas. Matemáticamente hablando, aprenderemos a dibujar la imagen de una figura dada al aplicar una rotación determinada.
Este artículo se enfoca en rotaciones de múltiplos de 90, degrees, tanto positivos (en contra de las manecillas del reloj) como negativos (en sentido de las manecillas del reloj).

Parte 1: rotar puntos 90, degrees, 180, degrees y minus, 90, degrees

Estudiemos un problema de ejemplo

Queremos encontrar la imagen A, prime del punto A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis al aplicar una rotación de 90, degrees alrededor del origen.
Empecemos por visualizar el problema. Las rotaciones positivas son en el sentido contrario a las manecillas del reloj, así que nuestra rotación será algo como esto:
Se muestra un plano coordenado con un segmento de recta donde sus extremos están en el origen y un punto en tres, cuatro etiquetado A. El punto se ha rotado en sentido contrario a las agujas del reloj noventa grados de manera que A prima ahora está en el segundo cuadrante.
Genial, estimamos A, prime visualmente. Pero ahora necesitamos determinar las coordenadas exactas. Hay dos maneras de hacerlo.

Método de solución 1: el enfoque visual

Podemos imaginar un rectángulo con un vértice en el origen y el vértice opuesto en A.
Se muestra un plano de coordenadas con un rectángulo con vértices en el origen, cero, cuatro, tres, cero y tres, cuatro que está etiquetado como A. Los ejes X y Y escalan de uno en uno.
Una rotación de 90, degrees es como voltear el rectángulo hacia un lado:
Se muestra un plano coordenado con un rectángulo preimagen con vértices en el origen, cero, cuatro, tres, cero y tres, cuatro que está etiquetado como A. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. El rectángulo se ha rotado noventa grados para formar la imagen de un rectángulo con vértices en el origen, cero, tres, cuatro negativo, cero y cuatro negativo, tres que está etiquetado como A prima.
Así vemos que la imagen de A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis al aplicar la rotación es A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
Observa que es más fácil rotar los puntos que están sobre los ejes, y estos nos ayudan a encontrar la imagen de A:
Puntoleft parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesisleft parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis
Imagenleft parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesisleft parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis

Método de solución 2: el enfoque algebraico

Veamos más de cerca los puntos A y A, prime:
Puntocoordenada xcoordenada y
Astart color #01a995, 3, end color #01a995start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff
A, primeminus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ffstart color #01a995, 3, end color #01a995
Observa un fenómeno interesante: la coordenada x de A se convirtió en la coordenada y de A, prime, y el opuesto de la coordenada y de A se convirtió en la coordenada x de A, prime.
Podemos representar esto matemáticamente de la siguiente manera:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis
Resulta que esto es válido para cualquier punto, no solo nuestro punto A. Aquí hay algunos otros ejemplos:
Se muestra un plano coordenado con tres puntos preimagen en ocho, uno negativo, tres negativo, cuatro y tres negativo, seis negativo. Se han rotado en sentido contrario a las agujas del reloj para formar los puntos imagen en uno, ocho, cuatro negativo, tres negativo y seis, tres negativo respectivamente. Los ejes X y Y escalan de uno en uno.
Además, resulta que las rotaciones de 180, degrees o minus, 90, degrees siguen patrones similares:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 180, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis
Podemos usar esto para rotar cualquier punto que queramos al introducir sus coordenadas en la ecuación apropiada.

¡Tu turno!

Problema 1

Dibuja la imagen de B, left parenthesis, minus, 7, comma, minus, 3, right parenthesis al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript.

Problema 2

Dibuja la imagen de C, left parenthesis, 5, comma, minus, 6, right parenthesis al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 180, degrees, end subscript.

Método gráfico contra método algebraico

En general, uno puede elegir cuál de los métodos usar. ¡Diferentes estilos para diferentes personas!
El método algebraico toma menos tiempo y necesita menos trabajo, pero necesitas recordar esos patrones. El método gráfico siempre está a tu disposición, pero puede tomarte más tiempo resolver.

Parte 2: extender a cualquier múltiplo de 90, degrees

Estudiemos un problema de ejemplo

Queremos encontrar la imagen D, prime del punto D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis al aplicar la rotación de 270, degrees alrededor del origen.

Solución

Como rotar 270, degrees es lo mismo que rotar 90, degrees tres veces, podemos resolver gráficamente al aplicar tres rotaciones consecutivas de 90, degrees:
Se muestra un plano coordenado con un rectángulo preimagen con vértices en el origen, cero, cuatro, cinco negativo, cero y cinco negativo, cuatro que está etiquetado como D. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. El rectángulo se ha rotado noventa grados para formar la imagen de un rectángulo con vértices en el origen, cero, cinco negativo, cuatro negativo, cero y cuatro negativo, cinco negativo. El rectángulo se ha rotado noventa grados de nuevo para formar la imagen de un rectángulo con vértices en el origen, cero, cuatro negativo, cinco, cero y cinco, cuatro negativo. El rectángulo se ha rotado una tercera vez noventa grados para formar la imagen de un rectángulo con vértices en elk origen, cero, cinco, cuatro, cero y cuatro, cinco que está etiquetado como D prima.
¡Pero espera! Pudimos simplemente rotar minus, 90, degrees, en lugar de 270, degrees. Estas rotaciones son equivalentes. Verifícalo:
Se muestra un plano coordenado con un rectángulo preimagen con vértices en el origen, cero, cuatro, cinco negativo, cero y cinco negativo, cuatro que está etiquetado como D. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. El rectángulo se ha rotado noventa grados en sentido de las manecillas del reloj para formar la imagen de un rectángulo con vértices en el origen, cero, cinco, cuatro, cero y cuatro, cinco que está etiquetado como D prima.
Por la misma razón, también podemos usar el patrón R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis, equals, left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis

Estudiemos otro problema de ejemplo

Queremos encontrar la imagen de left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis al aplicar una rotación de 810, degrees alrededor del origen.

Solución

Una rotación de 810, degrees es lo mismo que dos rotaciones consecutivas de 360, degrees seguidas por una rotación de 90, degrees (porque 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Una rotación de 360, degrees mapea cada punto a sí mismo. En otras palabras, no cambia nada.
Así que una rotación de 810, degrees es lo mismo que una rotación de 90, degrees. Por lo tanto, podemos simplemente usar el patrón R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 810, degrees, end subscript, left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis, equals, left parenthesis, 7, comma, minus, 9, right parenthesis

¡Tu turno!

Problema 1

Dibuja la imagen de E, left parenthesis, 8, comma, 6, right parenthesis al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 270, degrees, end subscript.

Problema 2

¿Cuál rotación es equivalente a la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 990, degrees, end subscript?
Escoge 1 respuesta:

Parte 3: rotar polígonos

Estudiemos un problema de ejemplo

Considera el cuadrilátero D, E, F, G dibujado a continuación. Dibujemos su imagen D, prime, E, prime, F, prime, G, prime al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Se muestra un plano coordenado con un cuadrilátero con vértices D en cinco, cinco; E en siete, seis; F en ocho, dos negativo y G en dos, dos negativo. Los ejes X y Y escalan de uno en uno.

Solución

De forma similar a las traslaciones, cuando rotamos un polígono, solo necesitamos aplicar la rotación a todos los vértices, y luego podemos conectar las imágenes de los vértices para encontrar la imagen del polígono.
Un plano coordenado con un cuadrilátero preimagen con vértices D en cinco, cinco; E en siete, seis; F en ocho, dos negativo y G en dos, dos negativo. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. Se ha rotado doscientos setenta grados en sentido contrario a las manecillas del reloj para formar la imagen del cuadrilátero con vértices D prima en cinco, cinco negativo; E prima en seis, siete negativo; F prima en dos negativo, ocho negativo y G prima en dos negativo, dos negativo.

¡Tu turno!

Dibuja la imagen de triangle, H, I, J a continuación al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript.

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