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Contenido principal

Rotación de figuras alrededor del origen por múltiplos de 90°

Aprende a trazar la imagen de una determinada figura con una rotación al rededor del origen por cualquier múltiplo de 90°.

Introducción

En este artículo practicaremos el arte de rotar formas. Matemáticamente hablando, aprenderemos a dibujar la imagen de una figura dada al aplicar una rotación determinada.
Este artículo se enfoca en rotaciones de múltiplos de 90, degrees, tanto positivos (en contra de las manecillas del reloj) como negativos (en sentido de las manecillas del reloj).

Parte 1: rotar puntos 90, degrees, 180, degrees y minus, 90, degrees

Estudiemos un problema de ejemplo

Queremos encontrar la imagen A, prime del punto A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis al aplicar una rotación de 90, degrees alrededor del origen.
Empecemos por visualizar el problema. Las rotaciones positivas son en el sentido contrario a las manecillas del reloj, así que nuestra rotación será algo como esto:
Genial, estimamos A, prime visualmente. Pero ahora necesitamos determinar las coordenadas exactas. Hay dos maneras de hacerlo.

Método de solución 1: el enfoque visual

Podemos imaginar un rectángulo con un vértice en el origen y el vértice opuesto en A.
Una rotación de 90, degrees es como voltear el rectángulo hacia un lado:
Así vemos que la imagen de A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis al aplicar la rotación es A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
Observa que es más fácil rotar los puntos que están sobre los ejes, y estos nos ayudan a encontrar la imagen de A:
Puntoleft parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesisleft parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis
Imagenleft parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesisleft parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis

Método de solución 2: el enfoque algebraico

Veamos más de cerca los puntos A y A, prime:
Puntocoordenada xcoordenada y
Astart color #01a995, 3, end color #01a995start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff
A, primeminus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ffstart color #01a995, 3, end color #01a995
Observa un fenómeno interesante: la coordenada x de A se convirtió en la coordenada y de A, prime, y el opuesto de la coordenada y de A se convirtió en la coordenada x de A, prime.
Podemos representar esto matemáticamente de la siguiente manera:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis
Resulta que esto es válido para cualquier punto, no solo nuestro punto A. Aquí hay algunos otros ejemplos:
Además, resulta que las rotaciones de 180, degrees o minus, 90, degrees siguen patrones similares:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 180, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis
Podemos usar esto para rotar cualquier punto que queramos al introducir sus coordenadas en la ecuación apropiada.

¡Tu turno!

Problema 1

Dibuja la imagen de B, left parenthesis, minus, 7, comma, minus, 3, right parenthesis al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript.

Problema 2

Dibuja la imagen de C, left parenthesis, 5, comma, minus, 6, right parenthesis al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 180, degrees, end subscript.

Método gráfico contra método algebraico

En general, uno puede elegir cuál de los métodos usar. ¡Diferentes estilos para diferentes personas!
El método algebraico toma menos tiempo y necesita menos trabajo, pero necesitas recordar esos patrones. El método gráfico siempre está a tu disposición, pero puede tomarte más tiempo resolver.

Parte 2: extender a cualquier múltiplo de 90, degrees

Estudiemos un problema de ejemplo

Queremos encontrar la imagen D, prime del punto D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis al aplicar la rotación de 270, degrees alrededor del origen.

Solución

Como rotar 270, degrees es lo mismo que rotar 90, degrees tres veces, podemos resolver gráficamente al aplicar tres rotaciones consecutivas de 90, degrees:
¡Pero espera! Pudimos simplemente rotar minus, 90, degrees, en lugar de 270, degrees. Estas rotaciones son equivalentes. Verifícalo:
Por la misma razón, también podemos usar el patrón R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis, equals, left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis

Estudiemos otro problema de ejemplo

Queremos encontrar la imagen de left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis al aplicar una rotación de 810, degrees alrededor del origen.

Solución

Una rotación de 810, degrees es lo mismo que dos rotaciones consecutivas de 360, degrees seguidas por una rotación de 90, degrees (porque 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Una rotación de 360, degrees mapea cada punto a sí mismo. En otras palabras, no cambia nada.
Así que una rotación de 810, degrees es lo mismo que una rotación de 90, degrees. Por lo tanto, podemos simplemente usar el patrón R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 810, degrees, end subscript, left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis, equals, left parenthesis, 7, comma, minus, 9, right parenthesis

¡Tu turno!

Problema 1

Dibuja la imagen de E, left parenthesis, 8, comma, 6, right parenthesis al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 270, degrees, end subscript.

Problema 2

¿Cuál rotación es equivalente a la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 990, degrees, end subscript?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:

Parte 3: rotar polígonos

Estudiemos un problema de ejemplo

Considera el cuadrilátero D, E, F, G dibujado a continuación. Dibujemos su imagen D, prime, E, prime, F, prime, G, prime al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.

Solución

De forma similar a las traslaciones, cuando rotamos un polígono, solo necesitamos aplicar la rotación a todos los vértices, y luego podemos conectar las imágenes de los vértices para encontrar la imagen del polígono.

¡Tu turno!

Dibuja la imagen de triangle, H, I, J a continuación al aplicar la rotación R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript.

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