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Hablemos ahora del que es fácilmente uno de los más famosos teoremas en todas las matemáticas y ese es el Teorema de Pitágoras El Teorema Pitagórico y funciona con triángulos rectángulos un triángulo rectángulo es un triángulo que contiene un ángulo de 90 grados asi, en la forma que yo lo dibujo aquí, este es nuestro ángulo de 90 grados si usted nunca antes había visto un ángulo de 90 grados la forma en que lo reconocemos es, si este lado va recto derecha a izquierda y este lado recto arriba y abajo Estos lados son perpendiculares, o el ángulo entre ellos mide 90 grados, o es un ángulo recto. Y el Teorema Pitagórico nos dice que si tratamos con un triángulo rectángulo -- déjeme escribir esto-- si estamos tratando con un triángulo rectángulo no otro tipo de triángulo si estamos tratando con un triángulo rectángulo, el cual es un triángulo que tiene un ángulo recto, o contiene un ángulo de 90 grados entonces la relación entre sus lados es esta así, este lado es a, este lado es b, y este lado es c. y recuerde, el c con el que estamos tratando aquí es el lado opuesto al ángulo de 90 grados es importante tener en mente cual lado es este. El Teorema Pitagórico nos dice que si y si lo si este es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de a más el cuadrado de b será igual al cuadrado de c y nosotros podemos usar esta información. Si conocemos dos de estos, entonces podemos usar este teorema, esta fórmula para hallar el tercer lado y aquí le daré otra pieza de terminología: este lado largo, el lado que es el más largo de nuestro triángulo rectángulo, ese lado que es opuesto a nuestro ángulo recto, --este de aquí-- es c en el ejemplo-- este lado es llamado hipotenusa HIPOTENUSA una palabra muy ostentosa para una idea muy simple El lado más largo de un triángulo rectángulo, el lado que es opuesto al ángulo de 90 grados, es llamado hipotenusa Ahora que conocemos el teorema Pitagórico, aprendamos a usarlo Porque una cosa es saber algo, pero más divertido es usarlo digamos que tengo el siguiente triángulo rectángulo déjeme dibujarlo un poco parecido El siguientre triángulo rectángulo el triángulo rectángulo Este lado de aquí tiene longitud 9 Este lado de aquí tiene longitud 7 y mi pregunta es,¿ cuál es este lado de acá? quizá podemos llamarlo -- bien, podemos llamarlo c. bien, c, en este caso, una vez más, es la hipotenusa es el lado más largo como sabemos que la suma de los cuadrados de los otros lados va a ser igual al cuadrado de c por el teorema Pitagórico, el cuadrado de 9 más el cuadrado de 7 será igual al cuadrado de c 9 al cuadrado es 81, más el cuadrado de 7 es 49, 80 más 40 es 120 nosotros tendremos el 1 más el 9, eso es otro 10, así esto será igual a 130. déjeme escribirlo así: El lado izquierdo será igual a 130, y eso es igual al cuadrado de c. bueno, a qué va a ser igual c? déjeme re-escribirlo aquí c cuadrado es igual a 130, o podemos decir que c es igual a la raíz cuadrada de 130 y note que, aquí, solo estoy tomando la raíz principal porque c tiene que ser positiva dado que estamos tratando con una distancia, entonces no podemos tomar tomar la raíz cuadrada negativa así que aquí, solo tomaremos la raíz cuadrada principal y si queremos simplificar esto un poco, ya sabemos como simplificar nuestras radicales 130 es 2 por 65, el cual es 5 por 13 bien, todos esos son números primos, así que eso es para nosotros tan simple como obtener c igual c igual a la raíz cuadrada de 130 Hagamos otro de estos. Tal vez quiero conservar este teorema Pitagórico por ahí, de tal forma que siempre recordemos a lo que nos estamos refiriendo Así que supongamos que tengo un triángulo que se ve como este veamos Digamos que luce como este se parece a este y este es el ángulo recto, este. Digamos que este lado, voy a llamarlo a El lado, va a tener una longitud 21 y este lado de aquí va a tener una longitud 35 así, su instinto para resolver para a, puede ser, hey, 21 al cuadrado más 35 al cuadrado será igual al cuadrado de a pero note que, en esta situación, 35 es la hipotenusa 35 es nuestra c es el lado más largo de nuestro triángulo rectángulo así que el teorema Pitagórico nos dice que a al cuadrado más el otro lado --no el más largo-- el otro lado distinto de la hipotenusa-- al cuadrado esto es a al cuadrado será igual al cuadrado de 35 usted tiene que recordar siempre, el cuadrado de c, aquí, lado c, del que estamos hablando, es y será siempre el lado más largo de nuestro triángulo rectángulo el lado que es opuesto a nuestro ángulo recto. Este es el lado que está opuesto al ángulo recto así, a al cuadrado más 21 al cuadrado es igual a 35 al cuadrado ¿y qué tenemos aquí? 21 al cuadrado --soy tentado a usar una calculadora, pero no -- así, 21 por 21 : 1 por 21 es 21: 2 por 21 es 42, luego es 441 21 al cuadrado es 441 35 al cuadrado una vez más, estoy tentado con la calculadora, pero no la usaré 35 por 35: 5 por 5 es 25 llevo el 2 5 por 3 es 15, más 2 es 17 pongo un 0 aquí, tengo en cuenta esto 3 por 5 15 3 por 3 es 9, más 1 por 10 eso es 11--déjeme hacer esto en orden-- 5 más 0 es 5, 7 más 5 es 12, 1 más 1 es 2, 1225 esto nos dice que el cuadrado de a más 441 será igual al cuadrado de 35, que nos da 1225 Ahora, podemos restar 441 a ambos lados de esta ecuación El lado izquierdo comienza a ser justo un cuadrado en el lado derecho, qué tenemos? tenemos 5 menos 1 que es 4 queremos -- déjeme escribir esto un poco más cerca aquí-- menos 441 el lado izquierdo, de nuevo se cancelan un cuadrado es igual a ---y entonces en el lado derecho qué tenemos que hacer?-- Eso es mayor que --- , pero 2 no es mayor que 4, así que vamos a tener que prestar luego esto se convierte en 12, o reagrupado, --dependendiendo de como usted lo quiera ver-- eso se convierte en 1 1 no es mayor que 4, así que tenemos que prestar de nuevo Lleve la cuenta de eso y luego esto se convierte en 11 5 menos 1 es 4 12 menos 4 es 8 11 menos 4 es 7 así a al cuadrado es igual a 784 y podemos escribir, entonces, que a es igual a la raíz cuadrada de 784 y una vez más, estoy tentado a usar la calculadora, pero,... bien, mejor no no la usemos así, esto es 2 por ... , cuánto? 392 y luego este 390 por 2 es 780, si y luego esto es 2 por --- cuánto? esto es 2 por 19 6 eso es correcto 190 por 2 es -- si si-- eso es 2 por 196 196 es 2 por --quiero estar seguro de no cometer un error de descuido 196 es 2 por 98 continuemos bajando aquí 98 es 2 por 49 y, claro está, nosotros sabemos que es esto note que, tenemos 2 por 2 por 2 por 2 osea, esto es 2 a la potencia 4 luego esto es 16 por 49 o sea a es igual a la raíz cuadrada de 16 por 49 yo escogí estos números porque ambos son cuadrados perfectos así esto es igual a la raíz cuadrada de 16, o sea 4 por la raíz cuadrada de 49, eso es 7 luego eso es igual 28 por tanto, este lado derecho de aquí será igual a 28 ´por el teorema Pitagórico. Hagamos otro de estos. entre más practica será mejor. digamos que tenemos otro triángulo voy a dibujar este grande ahí va este es mi triángulo este es el ángulo recto este lado es 24 este lado es 12 llamaremos a este lado b ahora, una vez más, identifiquemos siempre la hipotenusa eso es, el lado más largo el lado opuesto al ángulo de 90 grados usted puede decir, hey, yo no se se que ese sea el lado más largo yo no conozco a b todavía. Cómo sé que este es el más largo? y allí, en esa situación, usted puede decir, bueno, es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. o sea, si esa es la hipotenusa, justo esa. luego, este cuadrado más ese cuadrado será igual a 24 al cuadrado. por el teorema Pitagórico, b cuadrado más 12 cuadrado es igual a 24 al cuadrado o podemos restar 12 cuadrado a ambos lados decimos, b cuadrado es igual a 24 cuadrado menos 12 cuadrado, el cual sabemos es 144, y que b es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de 24 menos el cuadrado de 12 ahora estoy tentado a usar la calculadora, y me dejaré llevar de la tentación. bien, usemos la calculadora La última fue tan penosa, todavía me estoy recuperando bien, 24 al cuadrado menos 12 al cuadrado es igual a 24 punto78 esto se vuelve realmente en -- déjeme hacerla sin-- bien, la haré a medias 24 al cuadrado menos 12 al cuadrado es igual a 432 así b es igual a la raíz cuadrada de 432 y factoricemos esto de nuevo decimos que la respuesta es, --pero tal vez podamos escribir esto en forma de un radical simplificado así, esto es 2 por 216 216, yo creo, es, -- déjeme ver-- yo creo que es un cuadrado perfecto. bien, déjeme tomar la raíz cuadrada de 216 noo, no era un cuadrado perfecto. así 216, -- simplemente sigamos-- 216 es 2 por 108 108 es, podemos decir, 4 por cuánto? 25 más otro 2 -- 4 por 27, el cual es 9 por 3 tenemos 2 por 2, por 4, así esto aquí es un 16 16 por 9 por 3 es eso correcto? estoy usando una calculadora diferente 16 por 9 por 3 es igual a 432 16 por 9 por 3 es igual a 432 así que esto va a ser igual a -- b es la raíz cuadrada de 16 por 9, por 3, la cual es igual a la raíz cuadrada de de 16, la cual es 4 por la raíz cuadrada de 9 la cual es 3, por la raíz cuadrada de 3, lo cual es igual a 12 raíces de 3 así b es 12 por la raíz cuadrada de 3 Espero que usted encuentre esto muy útil.