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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:52
CCSS.Math:
HSG.SRT.B.4

Transcripción del video

aquí tenemos un triángulo rectángulo es un triángulo rectángulo puede ser que tiene un ángulo recto en la esquina y por eso por eso es llamado triángulo rectángulo ahora el lado más largo de este triángulo llamamos la hipotenusa ese lado puedes verla como el lado más largo o como el lado opuesto al ángulo de 90 grados entonces esa es la hipotenusa es una palabra bastante elegante para una idea tan sencilla o al menos así lo consideró ese es el lado más largo del triángulo rectángulo o el lado opuesto al ángulo recto si tú escuchas la palabra hipotenusa tú dices oh oh perfecto perfecto bueno simplemente están hablando de del lado de ese lado del triángulo rectángulo ahora bien lo que yo quiero hacer en este vídeo es probar la relación de hechos una relación bastante famosa que hay entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo entonces digamos que este segmento hace tiene longitud a digamos que el segmento b c tiene longitud de y finalmente que la hipotenusa la longitud del segmento ab tienen longitud c entonces éste éste tiene longitud c ahora veamos si podemos llegar a una relación entre a b y c y para hacer esto primero voy a construir una línea un segmento mejor dicho entonces construyó un segmento en 13 la hipotenusa y la construyó de tal manera que se intercepta de manera perpendicular forma un ángulo recto y llamamos a ese punto de entonces bueno esto siempre se puede hacer como simplemente tú imagina imagina rotar este triángulo aja sólo para que te des una idea de cómo siempre puedes construir un punto así entonces ya lo roten está la hipotenusa abajo este punto este punto es el punto b este punto es ahí bueno simplemente los lotes este punto es el punto se imagina tirar una roca con un hilo desde desde el punto se va a caer de manera perpendicular sobre la hipotenusa y eso fue básicamente lo que hicimos para establecer a de en el segmento ab y la razón por la que yo hice eso es porque ahora puedo hacer varias relaciones entre tres triángulos entre semejanza de triángulos porque tenemos tres triángulos el triángulo adc ángulo de bc y el triángulo grande el original y vamos a establecer similitud entre estos tres triángulos y primero te voy a mostrar que el triángulo adc el triángulo adc es similar al triángulo grande porque ambos tienen un ángulo recto el triángulo adc tiene este ángulo recto y éstos ángulos claramente son suplementarios porque suman 182 ángulos rectos suman 180 así que ambos tienen un ángulo recto el triángulo pequeño tiene un ángulo recto el triángulo original bueno claramente es un triángulo rectángulo así que bueno por el decir un ángulo recto y también ambos comparten este ángulo en el vértice a entonces el ángulo de ace o el ángulo b hace como lo quieras ver es el ángulo que comparten así que podemos escribir que el triángulo bueno voy a iniciar con el más pequeño este triángulo que que puse con sombra verde entonces ok el triángulo adc voy a escribir esto aquí el triángulo abc es similar al triángulo puede iniciar con él con orden de de ángulos entonces el triángulo a triángulo a lobo ya este ángulo el triángulo acb acp y como son similares podemos establecer una relación entre las razones de sus lados por ejemplo sabemos la razón entre dos correspondientes bueno de hecho de hecho en general para similitud de triángulos sabemos la razón entre los correspondientes será una constante entonces podemos tomar la razón de la hipotenusa de este triángulo el menor la hipotenusa es hace entonces tenemos hace sobre la hipotenusa del triángulo grande la cual es ave hace sobre ave esto es igual a hace a de es uno de los lados ajá estoy tomando segmentos similares de ambos triángulos y tendríamos entonces hace sobre ave es igual a ade sobre hace observar los triángulos y tratar de estudiar o genial a de ésta enel enel en el ángulo azul y el ángulo recto entonces el lado hace está entre el ángulo azul y el ángulo recto pero del triángulo mayor y si y si es confuso para ti simplemente observa la similitud y bueno ahí vas a encontrar segmentos correspondientes hace corresponde a ab el triángulo grande y ade en el triángulo pequeño corresponde a hace en el triángulo grandes lo que está pasando hace corresponde ave a de corresponde a hacer ya lo tenemos esa igualdad entonces bueno vamos a seguir sabemos que hace corresponde a minúscula hace corresponde a a minúscula acá tenemos otro hace esto es a y no tenemos etiqueta para el segmento a de tampoco para ab 'nos y de hecho para ver si tenemos ave es igual a centinela longitud c entonces pero pero no tenemos para a de así que bueno hay que hay que quitarlo llamémosle al segmento ab con d minúscula esto es adén y todo esto todo esto es ese entonces también para el segmento de bellame mosley a ese segmento él y eso facilita las cosas entonces tenemos que ha sobre ese es igual a de sobre a y si multiplicamos cruzado tenemos que apurar los cuales al cuadrado es igual a ceder y es un resultado bastante interesante ahora vamos a ver veamos qué podemos hacer con el otro triángulo con este triángulo podemos ver que tiene un ángulo recto cierto entonces tiene un ángulo recto y el triángulo grande también tiene un ángulo recto ahora ambos comparten este ángulo entonces por similitud de ángulo ángulo los triángulos serán similares y podemos decir que los triángulos los triángulos b d s en este triángulo bdc usó el orden de de los ángulos entonces el triángulo bdc es similar al triángulo bc a de del ángulo rosa voy del ángulo rosa al ángulo recto y después voy al ángulo en el vértice am y ya con esto lo que sigue lo que sigues nacional los podemos decir que la razón y la razón en el triángulo menor aquí el bc el segmento veces sobre el segmento vean estoy tomando simplemente estoy tomando las las hipotecas rusas que corresponden a cada a cada triángulo entonces veces sobre ve a aquí voy a tomar otro color veces sobre vea es igual al segmento b d sobre el segmento b c entonces bebé sobre el segmento b c simplemente tomó los vértices correspondientes y aquí ya tengo que vez en bcs b desees bbas3 de a ese ivd es ahora lo lo que lo que sigue es multiplicar cruzado como lo hicimos anteriormente y nos quedaría entonces que ve por ben espera al cuadrado esto será igual como lo hicimos si es lo mismo lo mismo entonces ve al cuadrado es igual hace esto es igual a c y ahora sí lo interesante porque podemos sumar estos dos podemos sumar lo escribirá trabajo para que quede más claro entonces tenemos que ve al cuadrado más se por e si sumamos tenemos tenemos al cuadrado más ve al cuadrado más ve al cuadrado esto es igual hace por de sepor de más sepor es simplemente estoy sumando estoy sumando normal y tenemos un ace en ambos términos de del lado derecho así que vamos a factorizar lo esto será igual hace por de más de más pero que es de más en que es de más de esta longitud y en esta longitud entonces demás es igual hace así que esto s y se porsche es igual hace al cuadrado estos igualase al cuadrado y tenemos tenemos al cuadrado más de al cuadrado es igual hace al cuadrado eso te parece te parece algo familiar no tenemos al cuadrado escribirlo bien acabamos establecer establecer qué que al cuadrado más ve al cuadrado es igual hace al cuadrado y lo cual aplica para bueno de hecho aplicó para un triángulo arbitrario entonces acá vamos a establecer que la suma de los cuadrados de cada uno de los lados es igual al cuadrado de la hipotenusa lo cual es uno de los de los teoremas más famosos que que hay en matemáticas nombrado por pitágoras esto fue por pitágoras no sé no sé si él fue el primero en llegar a esto pero pero sí es una base si es un pilar fundamental para la geometría y para la trigonometría de hecho si sabe si conoces dos de los lados de un triángulo pueda podrás saber cuánto mide el otro lado gracias a este gran teorema famosísimo teorema de pitágoras