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Introducción a las funciones trigonométricas inversas

Aprende sobre arcsin, arccos y arctan, y cómo pueden utilizarse para resolver un ángulo faltante en triángulos rectángulos.
Echemos un vistazo a un nuevo tipo de problema de trigonometría. Como dato interesante, estos problemas no pueden resolverse con seno, coseno o tangente.
Un problema: en el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo L?
Lo que sabemos: con respecto a L, sabemos las longitudes de los lados opuesto y adyacente, así que podemos escribir:
tan(L)=opuestoadyacente=3565
Pero esto no nos ayuda a determinar la medida de L. ¡Estamos atorados!
Qué necesitamos: nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas como este. Nuestros viejos amigos seno, coseno y tangente no dan el ancho. Estos toman ángulos y regresan razones de lados, pero necesitamos lo opuesto. ¡Necesitamos las funciones trigonométricas inversas!

Las funciones trigonométricas inversas

Ya conocemos la operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son operaciones inversas, al igual que la multiplicación y división. Cada operación hace lo opuesto de su inversa.
La idea es la misma en trigonometría. Funciones trigonométricas inversas hacen lo opuesto de las funciones trigonométricas "normales". Por ejemplo:
  • Seno inverso (sin1) hace lo opuesto del seno.
  • Coseno inverso (cos1) hace lo opuesto del coseno.
  • Tangente inversa (tan1) hace lo opuesto de la tangente.
En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el ángulo, puedes utilizar la correspondiente función trigonométrica inversa para determinar el ángulo. Esto se expresa matemáticamente en los siguientes enunciados:
Ángulos de entrada en funciones trigonométricas y razones de lados resultantesRazones de lados de entrada en funciones trigonométricas inversas y ángulos resultantes
sin(θ)=opuestohipotenusasin1(opuestohipotenusa)=θ
cos(θ)=adyacentehipotenusacos1(adyacentehipotenusa)=θ
tan(θ)=opuestoadyacentetan1(opuestoadyacente)=θ

¡Alerta sobre una idea errónea!

La expresión sin1(x) no es lo mismo que 1sin(x). En otras palabras, 1 no es un exponente. Más bien indica simplemente que se trata de la función inversa.
FunciónGráfica
sin(x)
sin1(x) (también llamado arcsin(x)) |
1sinx (también llamado csc(x)) |
Sin embargo, ¡hay una notación alternativa que evita esta confusión! También podemos expresar el seno inverso como arcsin, el coseno inverso como arccos, y la tangente inversa como arctan. Esta notación es común en lenguajes de programación de computadoras, pero menos usual en matemáticas.

Resolver el problema introductorio

En el problema introductorio nos dieron las longitudes de los lados adyacente y opuesto, con lo cual podemos utilizar la tangente inversa para determinar el ángulo.
mL=tan1( opuesto adyacente)Define.mL=tan1(3565)Sustituye valores.mL28.30Evalúa con calculadora.

Ahora intentemos ahora algunos problemas de práctica.

Problema 1
Dado KIP, determina mI.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2
Dado DEF, determina mE.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 3
Dado LYN, determina mY.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema de desafío
Resuelve el triángulo completamente. Es decir, determina todos los lados y ángulos no conocidos.
Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.
OE=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
mO=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
mZ=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

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