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Curso: Geometría > Unidad 2

Lección 3: Propiedades y definiciones de las transformaciones
Matemáticas
Geometría
Propiedades de transformaciones y demostraciones
Propiedades y definiciones de las transformaciones
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Definir rotaciones precisamente

Google Classroom
Lee el diálogo en el que un estudiante y un maestro trabajan hacia definir rotaciones tan precisas como sea posible.
El siguiente es un diálogo entre un profesor y un estudiante. Su objetivo consiste en describir las rotaciones en general, usando un lenguaje matemático preciso. Como verás, el estudiante debe revisar su definición varias veces para hacerla cada vez más clara. ¡Disfrútalo!
Maestro:
Hoy trataremos de describir de manera general qué hacen las rotaciones.
Si tenemos una rotación de θ grados con respecto al punto P. ¿Cómo describirías el efecto de esta rotación sobre otro punto A?
Estudiante:
¿Qué quieres decir? ¿Cómo puedo saber qué le hace la rotación al punto A si no sé nada acerca de esto?
Maestro:
Es cierto que no sabes nada de esta rotación particular, pero todas las rotaciones se comportan de manera similar. ¿Puedes pensar alguna forma de describir lo que la rotación le hace al punto A?
Estudiante:
Eh... Déjame pensar... Bueno, creo que A se mueve a otra posición, relativa a P. Por ejemplo, si A hubiera estado a la derecha de P, tal vez ahora estaría arriba de P, o algo así. Esto depende de qué tan grande sea θ.
Un punto P con un punto A directamente a su derecha. Una flecha verde se curva desde el punto A hasta un punto en la parte superior derecha del punto P, a la misma distancia del punto P que el punto A.
Maestro:
Excelente. Podemos describir lo que acabas de decir de esta manera:
Un segmento de recta horizontal P A. Un segmento de recta P B está hacia arriba y hacia la derecha. Una flecha verde se curva desde el punto A hasta el punto B. La medida de un ángulo desconocido es con el ángulo A P B.
Si la rotación mapea A al punto B, entonces el ángulo entre los segmentos de recta PA― y PB― es θ.
Estudiante:
Sí, estoy de acuerdo con esta definición.
Maestro:
Recuerda, sin embargo, que en matemáticas debemos ser muy precisos. ¿Solo hay una forma de crear un ángulo ∠P que sea igual a θ?
Estudiante:
Déjame ver... No, hay dos formas de crear ese ángulo: en sentido horario y en sentido antihorario.
Un segmento de recta horizontal P A. Un segmento de recta P B está hacia arriba y hacia la derecha. Una flecha verde se curva desde el punto A hasta el punto B. Una medida de ángulo desconocida está con el ángulo A P B. Otro segmento de recta P B se inclina hacia abajo a la derecha, formando la misma medida de ángulo desconocido y una flecha verde que se curva descendiendo desde el punto A hacia el punto B.
Maestro:
¡Correcto! Las rotaciones se realizan en sentido antihorario y nuestra definición debería reconocer que:
Una rotación de θ grados alrededor del punto P mueve a cualquier punto A en sentido antihorario a un punto B, donde m∠APB=θ.
Claro que si θ es una medida negativa, la rotación es en la dirección opuesta, o sea en sentido horario.
Estudiante:
Bien. ¿Ya terminamos?
Maestro:
Tú dime. La definición debe hacer completamente claro adonde se mapea A. En otras palabras, solo debe haber un punto que corresponda a la descripción de B.
¿Solo hay un punto que crea un ángulo en sentido antihorario igual a θ?
Estudiante:
Yo creo que sí... ¡Espera! ¡No! ¡Hay muchos puntos que crean este ángulo! Cualquier punto sobre el rayo que va de P a B tiene un ángulo θ con A.
Se muestra el ángulo A P B, donde A P es un segmento de recta y P B es una semirrecta. La medida del ángulo P es theta. La semirrecta que va desde P hacia B tiene muchos puntos marcados con signos de interrogación para representar respuestas posibles.
Maestro:
¡Buena observación! Entonces, ¿puedes pensar en algo que mejore nuestra definición?
Estudiante:
Si, además de que el ángulo sea igual a θ, la distancia a P debe permanecer igual. Creo que esto lo puedes definir matemáticamente como PA=PB.
Maestro:
¡Bien hecho! Podemos resumir todo nuestro trabajo en la siguiente definición:
Un segmento de recta horizontal P A. Un segmento de recta P B está hacia arriba ya la derecha. Una flecha verde se curva desde el punto A hasta el punto B. Una medida de ángulo desconocida está con el ángulo A P B. Ambos segmentos de recta tienen una recta congruente.
Una rotación de θ grados alrededor del punto P mueve cualquier punto A en sentido antihorario hasta el punto B, donde PA=PB y m∠APB=θ.
Estudiante:
Genial, ¡esto es muy preciso!
Maestro:
De hecho. Como un extra, déjame mostrarte otra forma de definir las rotaciones:
Un círculo con un centro etiquetado como punto P. Un segmento de recta horizontal P A forma el radio del círculo. Un segmento de recta P B está hacia arriba y hacia la derecha, forma otro radio en el círculo. Una flecha verde se curva en el arco del círculo desde el punto A hasta el punto B. Una medida de ángulo desconocida está con el ángulo A P B.
Una rotación de θ grados alrededor del punto P mueve cualquier punto A en sentido antihorario a un punto B, donde A y B están sobre el mismo círculo centrado en P, y m∠APB=θ.
Estudiante:
Sí, esto también funciona porque todos los puntos de un círculo tienen la misma distancia a su centro.
Maestro:
¡Exacto! La principal diferencia entre las dos definiciones es que la primera usa segmentos de recta y la segunda usa un círculo.
Estudiante:
Bien. ¿entonces eso es todo?
Maestro:
Sí. Creo que ya definimos las rotaciones tan precisamente como podemos.

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