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Resolver cuadráticas al sacar raíces cuadradas

Aprende a resolver ecuaciones cuadráticas como x^2=36 o (x-2)^2=49.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

Hasta ahora has resuelto ecuaciones lineales, que incluyen términos constantes (números) y términos con la variable elevada a la primera potencia (x1=x).
Ahora aprenderás a resolver ecuaciones cuadráticas, lo cual incluye términos en los que la variable está elevada a la segunda potencia, x2.
Aquí hay algunos ejemplos de tipos de ecuaciones cuadráticas que aprenderás a resolver:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
Ahora pongamos manos a la obra.

Resolver x2=36 y ecuaciones similares

Supón que queremos resolver la ecuación x2=36. Primero verbalicemos lo que la ecuación nos está pidiendo encontrar. Nos preguntan qué número multiplicado por sí mismo es igual a 36.
Si esta pregunta te parece familiar, es porque esta es la definición de la raíz cuadrada de 36, lo cual se expresa matemáticamente como 36.
Ahora bien, así es como se ve la solución completa de la ecuación:
x2=36x2=36Saca la raíz cuadrada.x=±36x=±6
Revisemos lo que hicimos para encontrar la solución.

Lo que quiere decir el signo ±

Observa que cada número positivo tiene dos raíces cuadradas: una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa. Por ejemplo, ambos 6 y 6, cuando se elevan al cuadrado, son iguales a 36. Por lo tanto, esta ecuación tiene dos soluciones.
El signo ± es solo una forma eficiente de representar este concepto matemáticamente. Por ejemplo, ±6 significa "6 o 6".

Una nota sobre operaciones inversas

Cuando resolvemos ecuaciones lineales, despejamos la variable al usar operaciones inversas: si la variable tiene un 3 sumado a ella, restamos 3 de ambos lados. Si la variable estuviera multiplicada por 4, dividiríamos ambos lados entre 4.
La operación inversa de elevar al cuadrado es sacar la raíz cuadrada. Sin embargo, a diferencia de otras operaciones, cuando sacamos la raíz cuadrada debemos recordar sacar la raíz cuadrada positiva y la negativa.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Problema 1
Resuelve x2=16.
x=±
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2
Resuelve x2=81.
x=±
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 3
Resuelve x2=5.
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Resolver (x2)2=49 y ecuaciones similares

Aquí te mostramos cómo encontrar la solución de la ecuación (x2)2=49:
(x2)2=49(x2)2=49Saca la raíz cuadrada.x2=±7x=±7+2Suma 2.
Por lo tanto, las soluciones son x=9 y x=5.
Revisemos lo que hicimos para encontrar la solución.

Despejar x

Al usar la operación inversa de sacar la raíz cuadrada, eliminamos el signo de cuadrado. Esto fue importante para despejar x, pero todavía tuvimos que sumar 2 en el último paso para verdaderamente despejar x.

Entender las soluciones

Nuestro trabajo terminó con x=±7+2. ¿Cómo deberíamos entender esa expresión? Recuerda que ±7 significa "+7 o 7". Por lo tanto, deberíamos separar nuestra respuesta de acuerdo a los dos casos: x=7+2 o x=7+2.
Esto nos da las dos soluciones x=9 y x=5.
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Problema 4
Resuelve (x+3)2=25.
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Problema 5
Resuelve (2x1)2=9.
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Problema 6
Resuelve (x5)2=7.
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¿Por qué no debemos desarrollar el paréntesis?

Regresemos a nuestra ecuación de ejemplo, (x2)2=49. Supón que queremos desarrollar el paréntesis. Después de todo, esto es lo que hacemos en ecuaciones lineales, ¿verdad?
Desarrollar el paréntesis da por resultado la siguiente ecuación:
x24x+4=49
Si queremos sacar la raíz cuadrada en esta ecuación, tenemos que sacar la raíz cuadrada de la expresión x24x+4; pero no está claro que x24x+4 pueda volver a escribirse como una expresión amigable.
En contraste, al sacar la raíz cuadrada de expresiones como x2 o (x2)2 obtenemos lindas expresiones como x o (x2).
Por lo tanto, es muy útil tener las ecuaciones cuadráticas factorizadas, porque esto nos permite sacar la raíz cuadrada.

Resolver 2x2+3=131 y ecuaciones similares

No todas las ecuaciones cuadráticas se resuelven al sacar la raíz cuadrada inmediatamente. Algunas veces tenemos que despejar el término cuadrado antes de sacar su raíz.
Por ejemplo, para resolver la ecuación 2x2+3=131 primero debemos aislar x2. Hacemos esto exactamente como aislaríamos el término x en una ecuación lineal.
2x2+3=1312x2=128Resta 3.x2=64Divide entre 2.x2=64Saca la raíz cuadrada.x=±8
Ahora resuelve algunas ecuaciones similares por ti mismo.
Problema 7
Resuelve 3x27=5.
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Problema 8
Resuelve 4(x1)2+2=38.
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Problema de desafío
Resuelve x2+8x+16=9.
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