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Preparación para Álgebra 2

Curso: Preparación para Álgebra 2 > Unidad 5

Lección 5: Resolver ángulos y lados en triángulos rectángulos mediante razones trigonométricas
Matemáticas
Preparación para Álgebra 2
Preparación para trigonometría
Resolver ángulos y lados en triángulos rectángulos mediante razones trigonométricas
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Introducción a las funciones trigonométricas inversas

Google Classroom
Aprende sobre arcsin, arccos y arctan, y cómo pueden utilizarse para resolver un ángulo faltante en triángulos rectángulos.
Echemos un vistazo a un nuevo tipo de problema de trigonometría. Como dato interesante, estos problemas no pueden resolverse con seno, coseno o tangente.
Un problema: en el siguiente triángulo, ¿cuál es la medida del ángulo L?
Lo que sabemos: con respecto a angle, L, sabemos las longitudes de los lados opuesto y adyacente, así que podemos escribir:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Pero esto no nos ayuda a determinar la medida de angle, L. ¡Estamos atorados!
Qué necesitamos: nuevas herramientas matemáticas para resolver problemas como este. Nuestros viejos amigos seno, coseno y tangente no dan el ancho. Estos toman ángulos y regresan razones de lados, pero necesitamos lo opuesto. ¡Necesitamos las funciones trigonométricas inversas!

Las funciones trigonométricas inversas

Ya conocemos la operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son operaciones inversas, al igual que la multiplicación y división. Cada operación hace lo opuesto de su inversa.
La idea es la misma en trigonometría. Funciones trigonométricas inversas hacen lo opuesto de las funciones trigonométricas "normales". Por ejemplo:
  • Seno inverso left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis hace lo opuesto del seno.
  • Coseno inverso left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis hace lo opuesto del coseno.
  • Tangente inversa left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis hace lo opuesto de la tangente.
En general, si conoces la razón trigonométrica, pero no el ángulo, puedes utilizar la correspondiente función trigonométrica inversa para determinar el ángulo. Esto se expresa matemáticamente en los siguientes enunciados:
Ángulos de entrada en funciones trigonométricas y razones de lados resultantesRazones de lados de entrada en funciones trigonométricas inversas y ángulos resultantes
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, a, d, y, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

¡Alerta sobre una idea errónea!

La expresión sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis no es lo mismo que start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. En otras palabras, minus, 1 no es un exponente. Más bien indica simplemente que se trata de la función inversa.
FunciónGráfica
sine, left parenthesis, x, right parenthesis
sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis (también llamada \arcsin, left parenthesis, x, right parenthesis)
start fraction, 1, divided by, sine, x, end fraction (también llamada \csc, left parenthesis, x, right parenthesis)
Sin embargo, ¡hay una notación alternativa que evita esta confusión! También podemos expresar el seno inverso como \arcsin, el coseno inverso como \arccos, y la tangente inversa como \arctan. Esta notación es común en lenguajes de programación de computadoras, pero menos usual en matemáticas.

Resolver el problema introductorio

En el problema introductorio nos dieron las longitudes de los lados adyacente y opuesto, con lo cual podemos utilizar la tangente inversa para determinar el ángulo.
m∠L=tan⁡−1( opuesto adyacente)Define.m∠L=tan⁡−1(3565)Sustituye valores.m∠L≈28.30∘Evaluˊa con calculadora.\begin{aligned} { m\angle L}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\blueD{\text{ opuesto}} }{\maroonC{\text{ adyacente}}}\right)&{\gray{\text{Define.}}} \\\\ m\angle L&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)&{\gray{\text{Sustituye valores.}}} \\\\ m\angle L &\approx 28.30^\circ &{\gray{\text{Evalúa con calculadora.}}}\end{aligned}

Ahora intentemos ahora algunos problemas de práctica.

Problema 1
Dado triangle, K, I, P, determina m, angle, I.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 2
Dado triangle, D, E, F, determina m, angle, E.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 3
Dado triangle, L, Y, N, determina m, angle, Y.
Redondea tu respuesta a la centésima de grado más cercana.
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema de desafío
Resuelve el triángulo completamente. Es decir, determina todos los lados y ángulos no conocidos.
Redondea tus respuestas a la centésima más cercana.
O, E, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
m, angle, O, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
m, angle, Z, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

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