If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal

Preparación para Precálculo

Curso: Preparación para Precálculo > Unidad 1

Lección 2: Introducción a los números complejos
Matemáticas
Preparación para Precálculo
Preparación para números complejos
Introducción a los números complejos
© 2023 Khan AcademyTérminos de usoPolítica de privacidadAviso de cookies

Introducción a números complejos

Google Classroom
Aprende qué son los números complejos, y acerca de sus partes reales e imaginarias.
En el sistema de los números reales no hay solución de la ecuación x2=−1. En esta lección estudiaremos un nuevo sistema numérico, en el cual la ecuación sí tiene solución.
La columna vertebral de este nuevo sistema numerico es el número i, también conocido como la unidad imaginaria.
  • i2=−1
  • −1=i
Al tomar múltiplos de esta unidad imaginaria podemos crear un infinidad de nuevos números, como 3i, i5 y −12i. Estos son ejemplos de números imaginarios.
Sin embargo, podemos ir más lejos y sumar números reales con números imaginarios; por ejemplo 2+7i y 3−2i. Estas combinaciones se llaman números complejos.

Definir números complejos

Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como a+bi, donde i es la unidad imaginaria y a y b son números reales.
a+bi↑↑iParteParterealimaginaria
a se llama la parte real del número, y b se llama la parte imaginaria del número.
La siguiente tabla ilustra ejemplos de números complejos, identificando sus partes real e imaginaria. Algunas personas identifican más fácilmente estas partes si el número está escrito en forma estándar.
Número complejoForma estándar a+biDescripción de las partes
7i−2−2+7iLa parte real es −2 y la imaginaria es 7.
4−3i4+(−3)iLa parte real es 4 y la imaginaria es −3
9i0+9iLa parte real es 0 y la imaginaria es 9
−2−2+0iLa parte real es −2 y la imaginaria es 0

Comprueba tu comprensión

Problema 1
¿Cuál es la parte real de 13.2i+1?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 2
¿Cuál es la parte imaginaria de 21−14i?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Problema 3
¿Cuál es la parte real de 17i?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Clasificar números complejos

Ya sabemos qué es un número real y acabamos de definir qué es un número complejo. Ahora regresemos para dar una definición adecuada de un número imaginario.
Un número imaginario es un número complejo a+bi en el que a=0.
Similarmente, podemos decir que un número real es un número complejo a+bi en el que b=0.
A partir de la primera definición, podemos concluir que cualquier número imaginario es también un número complejo. De la segunda definición podemos concluir que cualquier número real es también un número complejo.
Además, puede haber números complejos que no son reales ni imaginarios, como 4+2i.
Números complejos4+2i−3−5iNúmeros reales5−12.23Números imaginarios5i−12.2i3i

Pregunta para reflexionar

El siguiente enunciado es ¿verdadero o falso?
Cualquier número complejo es real, o bien imaginario.
Escoge 1 respuesta:

Ejemplos

En la siguiente tabla se han clasificado varios números como reales, imaginarios puros, y/o como complejos.
Real(b=0)Imaginario(a=0)Complejo(a+bi)
7+8i(7+8i)X
3(3+0i)XX
1(1+0i)XX
−1.3i(0+(−1.3)i)XX
100i(0+100i)XX
Observa que en la tabla todos los números se indican ¡como números complejos! ¡Esto es verdadero en general!

¡Ahora inténtalo tú!

Problema 4
¿Qué tipo de número es −2+3i?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problema 5
¿Qué tipo de número es 10.2?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problema 6
¿Qué tipo de número es −17i?
Elige todas las respuestas adecuadas:

¿Por qué son importantes estos números?

¿Entonces para qué estudiamos números complejos? Créelo o no, los números complejos tienen muchas aplicaciones: en ingeniería eléctrica y en mecánica cuántica, ¡por nombrar solo algunos!
Desde un punto de vista puramente matemático, una cosa interesante que podemos hacer con números complejos es resolver cualquier ecuación polinomial.
Por ejemplo, la ecuación polinomial x2−2x+5=0 no tiene soluciones reales ni imaginarias. Sin embargo sí tiene dos soluciones complejas, que son 1+2i y 1−2i.
Mientras continuamos nuestro estudio de las matemáticas, aprenderemos más acerca de estos números y donde se utilizan.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión
¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.