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Preparación para Precálculo

Curso: Preparación para Precálculo > Unidad 1

Lección 5: Multiplicar números complejos
Matemáticas
Preparación para Precálculo
Preparación para números complejos
Multiplicar números complejos
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Multiplicar números complejos

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Aprende a multiplicar dos números complejos. Por ejemplo, multiplica (1+2i)⋅(3+i).
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, donde i es la unidad imaginaria y start color #1fab54, a, end color #1fab54 y start color #11accd, b, end color #11accd son números reales.
Al multiplicar números complejos conviene recordar que las propiedades que usamos al realizar operaciones aritméticas con números reales funcionan de manera similar para números complejos.
A veces ayuda pensar en i como una variable, como x. Así, con unos pocos ajustes al final, podemos multiplicar tal como esperaríamos. Veamos esto con más cuidado mediante algunos ejemplos.

Multiplicar un número real por un número complejo

Ejemplo

Multiplica minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Escribe el resultado en la forma a, plus, b, i.

Solución

Si tu instinto te dice que distribuyas minus, 4, ¡tu instinto tiene la razón! ¡Hagamos eso!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
¡Y eso es todo! Utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar un número real por uno complejo. Intentemos algo un poco más complicado.

Multiplicar un número imaginario puro por un número complejo

Ejemplo

Multiplica 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Escribe el resultado en la forma a, plus, b, i.

Solución

Nuevamente empecemos por distribuir 2, i a cada término dentro del paréntesis.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
La respuesta todavía no está en la forma a, plus, b, i, pues contiene i, squared.
Sin embargo, sabemos que start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Sustituyamos para ver que obtenemos.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Con la propiedad conmutativa podemos escribir la respuesta como 16, plus, 6, i, y así tenemos que 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Comprueba tu comprensión

Problema 1

Multiplica 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

Problema 2

Multiplica minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

¡Excelente, ahora estamos listos para ir más lejos! Lo que sigue es el caso más típico que verás cuando se te pida multiplicar números complejos.

Multiplicar dos números complejos

Ejemplo

Multiplica left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. Escribe el resultado en la forma a, plus, b, i.

Solución

En este ejemplo, algunos pueden ayudarse al pensar en i como una variable.
De hecho el proceso para multiplicar estos dos números complejos ¡es similar al de multiplicar dos binomios! Multiplica cada término en el primer número por cada término en el segundo.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Como start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, podemos reemplazar i, squared por minus, 1 para obtener la forma deseada a, plus, b, i.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Comprueba tu comprensión

Problema 3

Multiplica left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

Problema 4

Multiplica left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

Problema 5

Multiplica left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

Problema 6

Multiplica left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

Problemas de desafío

Problema 1

Sean a y b números reales. ¿Qué es left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

Problema 2

Realiza la operación indicada y simplifica. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
Escribe tu respuesta en la forma a, plus, b, i.

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