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Preparación para Precálculo

Curso: Preparación para Precálculo > Unidad 1

Lección 1: La unidad imaginaria i
Matemáticas
Preparación para Precálculo
Preparación para números complejos
La unidad imaginaria i
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Potencias de la unidad imaginaria

Google Classroom
Aprende cómo simplificar cualquier potencia de la unidad imaginaria i. Por ejemplo, simplifica i²⁷ as -i.
Sabemos que i=−1 y que i2=−1.
¿Pero qué pasa con i3, i4, u otras potencias enteras de i? ¿Cómo podemos evaluar estas?

Evaluar i3 y i4

¡Las propiedades de los exponentes pueden ayudarnos aquí! De hecho, al calcular potencias de i, podemos aplicar las propiedades de los exponentes que sabemos que son verdaderas en el sistema de números reales, siempre que los exponentes sean enteros.
Con esto en mente, evaluemos i3 e i4.
Sabemos que i3=i2⋅i. Y puesto que i2=−1, vemos que:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
Similarmente i4=i2⋅i2. Nuevamente, por el hecho de que i2=−1, tenemos que:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1

Otras potencias de i

¡Sigamos adelante! Evaluemos las siguientes 4 potencias de i con un método similar.
i5=i4⋅iPropiedades de los exponentes=1⋅iYa que i4=1=ii6=i4⋅i2Propiedades de los exponentes=1⋅(−1)Ya que i4=1 e i2=−1=−1i7=i4⋅i3Propiedades de los exponentes=1⋅(−i)Ya que i4=1 e i3=−i=−ii8=i4⋅i4Propiedades de los exponentes=1⋅1Ya que i4=1=1
La tabla muestra un resumen de los resultados.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i−1−i1i−1−i1

Un patrón emergente

A partir de la tabla, parece que las potencias de i realizan ciclos en la secuencia i, −1, −i y 1.
¿Con este patrón podemos evaluar i20? ¡Intentémoslo!
La siguiente lista muestra los primeros 20 números en la secuencia que se repite.
i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1
De acuerdo a esta lógica, i20 debe ser igual a 1. Veamos si esto se puede respaldar con exponentes. Recuerda que podemos utilizar aquí las propiedades de los exponentes, ¡tal como lo hacemos con números reales!
i20=(i4)5Propiedades de los exponentes=(1)5i4=1=1Simplifica
De ambas formas, vemos que i20=1.

Potencias más grandes de i

Supongamos que ahora queremos evaluar i138. Podríamos listar la secuencia i, −1, −i, 1,... hasta el 138o término, pero ¡esto tomaría demasiado tiempo!
Observa, sin embargo, que i4=1, i8=1, i12=1, etc., o sea que i elevado a un múltiplo de 4 es 1.
Podemos utilizar este hecho, junto con las propiedades de los exponentes, para ayudarnos a simplificar i138.

Ejemplo

Simplifica i138.

Solución

Aunque 138 no es un múltiplo de 4, ¡el número 136 sí lo es! Utilicemos esto para simplificar i138.
i138=i136⋅i2Propiedades de los exponentes=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Propiedades de los exponentes=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1
Así que i138=−1.
Ahora podrías preguntarte porqué decidimos escribir i138 como i136⋅i2.
Pues bien, como el exponente original no es múltiplo de 4, encontrar el múltiplo de 4 más cercano que sea menor, nos permite simplificar la potencia a alguno de i, i2, o bien i3, simplemente por el hecho de que i4=1.
Este número se encuentra fácilmente si divides el exponente original entre 4. Es simplemente el cociente (sin el residuo) multiplicado por 4.

Practiquemos con algunos problemas

Problema 1

Simplifica i227.

Problema 2

Simplifica i2016.

Problema 3

Simplifica i537.

Problema de desafío

¿Cuál de los siguientes es equivalente a i−1?
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