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Preparación para Precálculo

Curso: Preparación para Precálculo > Unidad 6

Lección 2: Construir sucesiones aritméticas
Matemáticas
Preparación para Precálculo
Preparación para series
Construir sucesiones aritméticas
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Convertir formas recursivas y explícitas de sucesiones aritméticas

Google Classroom
Aprende cómo convertir entre fórmulas recursivas y explícitas de sucesiones aritméticas.
Antes de seguir con esta lección, asegúrate que sabes cómo encontrar fórmulas recursivas y fórmulas explícitas de sucesiones aritméticas.

Convertir de fórmula recursiva a fórmula explícita

Una sucesión aritmética tiene la siguiente fórmula recursiva.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
Recuerda que a partir de esta fórmula tenemos la siguiente información:
  • El primer término es start color #0d923f, 3, end color #0d923f.
  • Para obtener cualquier término a partir del término previo, suma start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. En otras palabras, la diferencia común es start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Vamos a buscar una fórmula explícita para la sucesión.
Recuerda que podemos representar una sucesión cuyo primer término es start color #0d923f, A, end color #0d923f y cuya diferencia común es start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 con la forma explícita estándar start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Por tanto, una fórmula explícita de esta sucesión es a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Comprueba tu comprensión

1) Escribe una fórmula explícita para la sucesión.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) Escribe una fórmula explícita para la sucesión.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

Convertir de una fórmula explícita a una fórmula recursiva

Ejemplo 1: la fórmula está dada en forma estándar

Nos dan la siguiente fórmula explícita de una sucesión aritmética.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
Esta fórmula está en la forma explícita estándar start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, donde start color #0d923f, A, end color #0d923f es el primer término y start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 es la diferencia común. Por lo tanto,
  • el primer término de la sucesión es start color #0d923f, 5, end color #0d923f, y
  • la diferencia común es start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.
Vamos a buscar una fórmula recursiva para la sucesión. Recordemos que a partir de la fórmula recursiva obtenemos la siguiente información:
  1. El primer término left parenthesisque sabemos que es start color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis.
  2. La regla del patrón para obtener cualquier término a partir del término que lo precede left parenthesisque sabemos que es "suma start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6"right parenthesis.
Por lo tanto, esta es una fórmula recursiva para la sucesión.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

Ejemplo 2: la fórmula está dada en forma simplificada

Nos dan la siguiente fórmula explícita de una sucesión aritmética.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
Observa que la fórmula no está dada en la forma explícita estándar start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Por esta razón, no podemos simplemente usar la estructura de la fórmula para encontrar el primer término y la diferencia común. En cambio, podemos encontrar los dos primeros términos:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
Ahora podemos ver que el primer término es start color #0d923f, 12, end color #0d923f y la diferencia común es start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Por lo tanto, esta es una fórmula recursiva para la sucesión.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

Comprueba tu comprensión

3) La fórmula explícita de una sucesión aritmética es f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Completa los valores faltantes en la fórmula recursiva de la sucesión.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) La fórmula explícita de una sucesión aritmética es g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.
Completa los valores faltantes en la fórmula recursiva de la sucesión.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

5) La fórmula explícita de una sucesión aritmética es h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n.
Completa los valores faltantes en la fórmula recursiva de la sucesión.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) La fórmula explícita de una sucesión aritmética es i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n.
Completa los valores faltantes en la fórmula recursiva de la sucesión.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
B, equals
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema de desafío

7) Selecciona todas las fórmulas que representen correctamente la sucesión aritmética 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point
Elige todas las respuestas adecuadas:

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