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Curso: Preparación para Precálculo > Unidad 6

Lección 2: Construir sucesiones aritméticas
Matemáticas
Preparación para Precálculo
Preparación para series
Construir sucesiones aritméticas
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Fórmulas explícitas para sucesiones aritméticas

Google Classroom
Aprende a encontrar fórmulas explícitas de sucesiones aritméticas. Por ejemplo, encuentra la fórmula explícita de 3, 5, 7,...
Antes de continuar con esta lección, asegúrate de estar familiarizado con los fundamentos de las fórmulas de sucesiones aritméticas.

Cómo funcionan las fórmulas explícitas

Esta es una fórmula explícita de la sucesión 3,5,7,…
a(n)=3+2(n−1)
En la fórmula, n es cualquier número de término y a(n) es el nésimo término.
Esta fórmula nos permite simplemente sustituir el número del término que nos interesa, y obtendremos el valor de ese término.
Para encontrar el quinto término, por ejemplo, necesitamos sustituir n=5 en la fórmula explícita.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11
¡Genial! En efecto este es el quinto término de 3,5,7,…

Comprueba tu comprensión

1) Encuentra b(10) en la sucesión dada por b(n)=−5+9(n−1).
b(10)=
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Escribir fórmulas explícitas

Considera la sucesión aritmética 5,8,11,… el primer término es 5 y la diferencia común es 3.
Podemos obtener cualquier término de la sucesión al tomar el primer término, 5, y sumarle la diferencia común, 3, repetidamente. Échale un vistazo, por ejemplo, a los siguientes cálculos de algunos de los primeros términos.
nCálculos para obtener el nésimo término
15=5+0⋅3=5
25+3=5+1⋅3=8
35+3+3=5+2⋅3=11
45+3+3+3=5+3⋅3=14
55+3+3+3+3=5+4⋅3=17
La tabla muestra que podemos obtener el nésimo término (donde n es un número de término cualquiera) tomando el primer término, 5, y sumándole la diferencia común, 3, repetidamente n−1 veces. Esto puede escribirse algebraicamente como 5+3(n−1).
En general, esta es la fórmula explícita estándar de una sucesión aritmética cuyo primer término es A y cuya diferencia común es B:
A+B(n−1)

Comprueba tu comprensión

2) Escribe una fórmula explícita para la sucesión 2,9,16,….
d(n)=

3) Escribe una fórmula explícita para la sucesión 9,5,1,….
e(n)=

4) La fórmula explícita de una sucesión es f(n)=−6+2(n−1).
¿Cuál es el primer término de la sucesión?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi
¿Cuál es la diferencia común?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

Fórmulas explícitas equivalentes

La fórmulas explícitas pueden escribirse de muchas formas.
Por ejemplo, las siguientes son todas fórmulas explícitas para la sucesión 3,5,7,…
  • 3+2(n−1) (esta es la fórmula estándar)
  • 1+2n
  • 5+2(n−2)
Las fórmulas pueden parecer diferentes, pero lo importante es que podamos sustituir un valor de n y obtener el nésimo término correcto (prueba tú mismo con las otras fórmulas para verificar que son correctas).
A las diferentes fórmulas explícitas que describen la misma sucesión se les llama formulas equivalentes.

Una idea equivocada común

Una sucesión aritmética puede tener diferentes fórmulas equivalentes, pero es importante recordar que solo la forma estándar nos da el primer término y la diferencia común.
Por ejemplo, en la sucesión 2,8,14,… el primer término es 2 y la diferencia común es 6.
La fórmula explícita 2+6(n−1) describe esta sucesión, pero la fórmula explícita 2+6n describe una sucesión diferente.
Para convertir la fórmula 2+6(n−1) en una fórmula equivalente de la forma A+Bn, podemos quitar los paréntesis y simplificar:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n
Algunas personas pueden preferir la fórmula −4+6n porque es más corta que la fórmula equivalente 2+6(n−1). Lo bueno de la fórmula larga es que a partir de ella podemos obtener el primer término.

Comprueba tu comprensión

5) Encuentra todas las fórmulas explícitas de la sucesión 12,7,2,…
Elige todas las respuestas adecuadas:

Problemas de desafío

6*) Encuentra el 124.o término de la sucesión aritmética 199,196,193,…
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

7*) El primer término de una sucesión aritmética es 5 y el décimo término es 59.
¿Cuál es la diferencia común?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3/5
  • una fracción impropia simplificada, como 7/4
  • un número mixto, como 1 3/4
  • un decimal exacto, como 0.75
  • un múltiplo de pi, como 12 pi o 2/3 pi

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