Como es la formula explicita

La fórmula explicita para una cierta sucesión, es aquella que te permite calcular cualquier término de la sucesión, a partir de : el valor inicial de la sucesión, el indice o ubicación del término buscado y la diferencia entre dos términos consecutivos . Pon atención en el minuto 2: 16 de la introducción https://es.khanacademy.org/math/algebra/sequences/introduction-to-sequences/v/explicit-and-recursive-definitions-of-sequences

en mi opinion deberian poner como encontrar esa formula o como crearlo nosotros mismos, seria lo mejor

Es una función lineal de la forma y= mx+ b y la podemos construir. El valor que nos da el primer término lo ubicariamos en b y el valor por el que aumenta lo ponemos en m y x, la variable, sabemos que es n-1, el anterior.

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Preparación para Precálculo

Introducción a las fórmulas de sucesiones aritméticas

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Familiarízate con los fundamentos de las fórmulas explícitas y recursivas de sucesiones aritméticas.

Antes de continuar con esta lección, asegúrate de que sabes los fundamentos de las sucesiones aritméticas, y que tienes algo de experiencia con la evaluación de funciones y el dominio de la función.

¿Qué es una fórmula?

Estamos acostumbrados a describir sucesiones aritméticas de esta manera:

3, 5, 7, …

Pero hay otras formas. En esta lección vamos a aprender dos nuevas maneras de representar sucesiones aritméticas: fórmulas recursivas y fórmulas explícitas. Las fórmulas nos dan instrucciones de cómo encontrar cualquier término de una sucesión.

En términos generales, las fórmulas utilizan

n

para representar cualquier número de término y

a (n)

para representar el

n^{pésimo}

término de la sucesión. Por ejemplo, aquí están algunos de los primeros términos de la sucesión aritmética 3, 5, 7, ...

$n$ ‍	$a (n)$ ‍
(El número de término)	(El $n^{ésimo}$ ‍ término)
$1$ ‍	$3$ ‍
$2$ ‍	$5$ ‍
$3$ ‍	$7$ ‍

Antes mencionamos que las fórmulas nos dan instrucciones para encontrar cualquier término de una sucesión. Ahora podemos reformular esto como sigue: las fórmulas nos dicen cómo encontrar $a (n)$ ‍ para cualquier posible $n$ ‍.

Comprueba tu comprensión

1) Encuentra $a (4)$ ‍ en la sucesión 3, 5, 7, ...

a (4) =

[¡Necesito ayuda!]

2) Para cualquier número de término $n$ ‍, ¿qué representa $a (n - 1)$ ‍?

[¡Necesito ayuda!]

Fórmulas recursivas de sucesiones aritméticas

Las fórmulas recursivas nos dan la siguiente información:

El primer término de una sucesión.
La regla del patrón para obtener cualquier término en una sucesión a partir del término que lo precede.

Esta es la fórmula recursiva de nuestra sucesión 3, 5, 7, ... junto con la interpretación de cada parte.

{\begin{cases} a (1) = 3 & \leftarrow el primer témino es tres \\ a (n) = a (n - 1) + 2 & \leftarrow suma dos al término anterior \end{cases}

Para encontrar el quinto término, por ejemplo, tenemos que ampliar la sucesión término por término:

$a (n)$ ‍	$= a (n - 1) + 2$ ‍
$a (1)$ ‍			$= 3$ ‍
$a (2)$ ‍	$= a (1) + 2$ ‍	$= 3 + 2$ ‍	$= 5$ ‍
$a (3)$ ‍	$= a (2) + 2$ ‍	$= 5 + 2$ ‍	$= 7$ ‍
$a (4)$ ‍	$= a (3) + 2$ ‍	$= 7 + 2$ ‍	$= 9$ ‍
$a (5)$ ‍	$= a (4) + 2$ ‍	$= 9 + 2$ ‍	$= 11$ ‍

¡Genial! Esta fórmula nos da la misma sucesión que lo descrito por 3, 5, 7, ...

Comprueba tu comprensión

Ahora es tu turno de encontrar términos de sucesiones usando sus fórmulas recursivas.

Tal como usamos

a (n)

para representar el

n^{ésimo}

término de la sucesión 3, 5, 7, ... podemos usar otras letras para representar otras sucesiones. Por ejemplo, podemos usar

b (n)

c (n)

d (n)

3) Encuentra $b (4)$ ‍ en la sucesión dada por

{\begin{cases} b (1) = - 5 \\ b (n) = b (n - 1) + 9 \end{cases}

b (4) =

[¡Necesito ayuda!]

4) Encuentra $c (3)$ ‍ en la sucesión dada por

{\begin{cases} c (1) = 20 \\ c (n) = c (n - 1) - 17 \end{cases}

c (3) =

[¡Necesito ayuda!]

3) Encuentra $d (5)$ ‍ en la sucesión dada por

{\begin{cases} d (1) = 2 \\ d (n) = d (n - 1) + 0.4 \end{cases}

d (5) =

[¡Necesito ayuda!]

Fórmulas explícitas de sucesiones aritméticas

He aquí una fórmula explícita de 3, 5, 7, ...

a (n) = 3 + 2 (n - 1)

Esta fórmula nos permite simplemente sustituir el número del término que nos interesa para obtener el valor de ese término.

Para encontrar el quinto término, por ejemplo, necesitamos sustituir

n = 5

en la fórmula explícita.

\begin{aligned} a (5) & = 3 + 2 (5 - 1) \\ = 3 + 2 \cdot 4 \\ = 3 + 8 \\ = 11 \end{aligned}

¡Y he aquí que obtenemos el mismo resultado que antes!

Comprueba tu comprensión

6) Encuentra $b (10)$ ‍ en la sucesión dada por $b (n) = - 5 + 9 (n - 1)$ ‍.

b (10) =

[¡Necesito ayuda!]

7) Encuentra $c (8)$ ‍ en la sucesión dada por $c (n) = 20 - 17 (n - 1)$ ‍.

c (8) =

[¡Necesito ayuda!]

8) Encuentra $d (21)$ ‍ en la sucesión dada por $d (n) = 2 + 0.4 (n - 1)$ ‍.

d (21) =

[¡Necesito ayuda!]

Las sucesiones son funciones

Observa que las fórmulas que utilizamos en esta lección operan como funciones: sustituimos un valor de entrada

n

, y con la fórmula obtenemos el término

a (n)

como valor de salida.

Las sucesiones están de hecho definidas como funciones. Sin embargo,

n

no puede ser el valor de cualquier número real. No hay tal cosa como el menos quinto término, ni el término 0.4 de una sucesión.

Esto significa que el dominio de las sucesiones (que es el conjunto de todos los valores de entrada posibles de la función) son los enteros positivos.