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Curso: Preparación para Precálculo > Unidad 5

Lección 5: Fórmula de la distancia
Matemáticas
Preparación para Precálculo
Preparación para vectores y matrices
Fórmula de la distancia
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Fórmula de la distancia

Google Classroom
Derivación paso a paso de una fórmula general para la distancia entre dos puntos.
La distancia entre los puntos (x1,y1) y (x2,y2) está dada por:
(x2−x1)2+(y2−y1)2
¡En este artículo vamos a derivar esta fórmula!

Derivación de la fórmula de la distancia

Comencemos por graficar los puntos (x1,y1) y (x2,y2).
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y, etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos.
La longitud del segmento entre los dos puntos es igual a la distancia entre ellos:
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos.
Queremos encontrar la distancia. Si dibujamos un triángulo rectángulo, ¡seremos capaces de usar el teorema de Pitágoras!
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos. Un tercer punto no etiquetado está en x dos, y uno con una recta que conecta desde él hasta el punto en x dos, y dos y otra recta que conecta desde él hasta el punto en x uno, y uno formando un triángulo rectángulo.
Una expresión para la longitud de la base es x2−x1:
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos. Un tercer punto no etiquetado está en x dos, y uno con una recta que conecta desde él hasta el punto en x dos, y dos y otra recta que conecta desde él hasta el punto en x uno, y uno formando un triángulo rectángulo. Se desconoce la hipotenusa del triángulo rectángulo y el lado formado desde el punto en x uno, y uno y x dos, y uno está etiquetado como x dos menos x uno.
Similarmente, una expresión para la longitud de la altura es y2−y1:
El primer cuadrante de un plano coordenado con dos marcas en el eje x etiquetadas como x uno y x dos. Hay dos marcas en el eje y etiquetadas como y uno y y dos. Hay un punto en x uno, y uno y otro punto en x dos, y dos. Una recta conecta los dos puntos. Un tercer punto no etiquetado está en x dos, y uno con una recta que conecta desde él hasta el punto en x dos, y dos y otra recta que conecta desde él hasta el punto en x uno, y uno formando un triángulo rectángulo. Se desconoce la hipotenusa del triángulo rectángulo y el lado formado desde el punto en x uno, y uno y x dos, y uno está etiquetado como x dos menos x uno. El tercer lado está etiquetado como y dos menos y uno.
Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación:
?2=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Resolvemos para ? al tomar la raíz cuadrada de ambos lados:
?=(x2−x1)2+(y2−y1)2
¡Esto es todo! ¡Hemos derivado la fórmula de la distancia!
Curiosamente, mucha gente no memoriza esta fórmula. En vez de eso, cada vez que quiere encontrar la distancia entre dos puntos, dibuja un triángulo rectángulo y usa el teorema de Pitágoras.

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