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Contenido principal
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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es encontrar la longitud de arco de lo que podríamos llamar un pétalo de la gráfica de era igual a 4 seno de 230 quiero encontrar entonces la longitud de esta porción de la curva que está dibujada en rojo esto lo voy a hacer en dos partes en la primera parte voy a establecer la integral definida para calcular dicha longitud de arco y en la segunda parte voy a evaluar integral con una calculadora con lo cual vamos a obtener de manera inmediata el valor de dicha íntegras así es que manos a la obra te invito a que le pongas causa el video y dado que ya conocemos la fórmula para la longitud de arco en coordenadas polares intenta aplicar la para calcular esta longitud supongo que ya lo intentaste así es que vamos a recordar la fórmula la longitud de arco va a estar dada por la integral definida desde el ángulo inicial hasta el ángulo final desde el ángulo alfa hasta el ángulo beta de la raíz de la derivada de la función raíz de la deriva de la función elevada al cuadrado más la función rt está elevada al cuadrado de teta veamos entonces cuáles son y reprima de teta y rd teta déjame ubicarlo entonces por colores y reprima de eta r prima no mejor vamos a empezar con el reta entonces rd teta rt está es igual a 4 seno de 230 478 reprima de teta reprima detecta ese entonces la deriva de dos tetas dos por 48 y leiva de seno es coseno coseno de 2t está así es que ahora podemos escribir la integral definida para calcular la longitud de arco como el eee es igual a la integral definida cuál es el límite inferior bueno el pétalo que nos interesa inicia cuando te metes igual a cero radiales cuando te metes igual a cero radio eres igual a cero es este punto que tenemos aquí así es que el ángulo inicia en cero radiales y se va a ir incrementando hasta llegar a y sobre dos cuando te sigo a lápiz sobre 22 tetes iguala piceno de pies igual a cero y regresamos a este punto así es que la integral va de cero a pi sobre dos api sobre dos radiales y vamos a integrar la raíz cuadrada de r prima de teta al cuadrado que es 8 coseno de 12 tal cuadrado esto es entonces 64 kg ponerlo con el mismo color azul esto es entonces 64 coseno cuadrado de 2 c está más rd teta elevado al cuadrado que es 4 092 teta elevado al cuadrado esto es 16 seno cuadrado de 2 c está y por supuesto a extender esto aquí detecta y aquí podrías intentar evaluar esto analíticamente no es tan inmediato yo voy a utilizar una calculadora porque en este caso lo más práctico y es una herramienta que tenemos que aprender a utilizar así es que aquí voy a ir a la opción de literal definida presionó segundo cálculo se remite y 85 y ahí el hijo la opción de integrar definida déjame expresar entonces el integrando es la raíz cuadrada de 64 por josé no de 12 está al cuadrado así es que josé no voy a usar x pues en mi calculadora x es una variable más fácil de indicar que te está entonces coseno de 2 x deja de poner bien los paréntesis para que tome la función coche no de manera adecuada coseno de 2 x elevado al cuadrado aquí cerramos otro paréntesis y elevamos al cuadrado ahí ya tenemos la primera parte más +16 que multiplica que multiplica al seno al pse no hablo paréntesis de dos equis hierro paréntesis duro paréntesis elevó al cuadrado de hecho yo no sé si es que atrás lo toma directamente la calculadora mejorado con el signo portal indica al 64 por cocemfe 2x elevada al cuadrado más 16 por el seno de 2 x elevado al cuadrado ahora voy al final y aquí esto voy tengo que cerrar la raíz y aquí ya no estamos será el argumento de la raíz cuadrada con este paréntesis ya tenemos bien el integrando ahora coma la variable con respecto a la cual estoy integrando que es x cada que aparece taquile estoy sustituyendo con x y queremos evaluar e integral entre x igual a cero y x igual api sobre dos y ahora sí espero que no haya cometido ningún error a la hora de teclearlo y así vamos a obtener está tomando su tiempo pensando espero que no que no se haya trabajado no ahí está obtenemos redondeando a milésimas 9.688 así es que esto es aproximadamente igual a 9.684.814 por lo que si tan sólo fuéramos de ida y de vuelta tendríamos una longitud de arco de ocho pero tenemos lo que se abre el pétalo así es que el valor que obtuvimos de nueve puntos 688 sí parece adecuado y así hemos concluido