If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:11:46

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es obtener una fórmula para calcular la longitud de arco de una curva que está definida en coordenadas polares si esta curva de aquí es era igual a efe dt está cómo calculamos la longitud de esta curva entre dos ángulos te está digamos como aparece en esta gráfica entre te iguala 0 radiales itt igual api sobre dos radiales entre cualesquiera límites para el ángulo teta la manera cómo lo vamos a hacer y si en algún momento dado te sientes inspirada o inspirado pole pausa el video e intenta obtener por tu cuenta la fórmula para longitud de arco cuando estamos en coordenadas polares para esto vamos a hacer exactamente lo mismo que hicimos para obtener la fórmula de longitud de arco en coordenadas rectangulares empezamos tomando una pequeña sección de la longitud de arco supongamos que esta región que estoy marcando aquí es muy pequeña es infinitesimalmente pequeña ésta es un pedazo una sección infinitamente pequeña de la longitud de arco la cual voy a llamar de ese y obviamente aquí se ve mucho más grande de lo que podría considerarse una longitud infinitesimal a sumar todas estas longitudes de arco infinitesimales a integrar las vamos a obtener entonces la longitud de arco de toda la curva podemos establecer entonces que la longitud de arco va a estar dada por la integral de todos esos infinitamente pequeños de ese es la suma infinita de esos infinitamente pequeño de heces nos va a dar toda la longitud de arco ahora para expresar ds en términos de r&d teta que es lo que conocemos no es pensar primero en términos de xy llegue y luego haremos la transformación para que quede en términos de r&d teta lo cual ya hemos hecho antes cuando hemos convertido en coordenadas rectangulares a coordenadas polares sabemos entonces que de ese va a ser igual al infinitamente pequeño cambio en x elevado al cuadrado así es que si vamos de este punto este punto que es el cambio en la longitud de arco entonces esta distancia aquí va a ser el cambio en xs6 dx y luego escribir todo en términos de diferencial es lo cual quizás tendríamos que formalizar más de punto de vista matemático aquí tendríamos que hablar primero de delta x y lo toma el límite cuando delta x tiende a cero pero yo lo va a manejar así de manera informal pues esto nos permite de manera intuitiva tener un mejor entendimiento conceptual de lo que estamos haciendo así es que este es el cambio en x cuando vamos de este punto a este punto mientras que esté aquí es el cambio llegue cuando vamos de este punto a este punto es de gue y como ya vimos cuando obtuvimos la fórmula para longitud de arco en coordenadas rectangulares podemos establecer que de ese es igual a la raíz cuadrada de dx elevado al cuadrado más de ella eleva al cuadrado y esto lo tenemos directamente al ceo de pitágoras más de ye elevado al cuadrado y si podemos integrar esto entonces obtenemos la longitud de arco pero cómo podemos expresar esto en términos de r&d teta para esto tenemos que recordar la relación que existe entre las coordenadas rectangulares x y llegué y las coordenadas polares el rey está x sabemos que es igual a r josé no detectan y esto ya lo vimos cuando empezamos a movernos entre coordenadas polares y rectangulares mientras que llegue es igual a rac1 eta y ahora podemos usar esto para obtener dx ideye dx base de entonces iguala aquí tenemos que tomar en cuenta que r es una función de teta de hecho deja escribir lo mejor de esta manera x también lo podemos escribir como fz que multiplica a josé no detectan y también por lo mismo ye es igual a efe dt está que multiplica a seno de está bien ahora sí podemos obtener de x aplicamos la regla el producto es la deriva del primero que es efe prima de teta por el segundo que es coche no detectan más la deriva del segundo la diva del coche etc - seno de eta así es que es menos seno de tête al seno de eta por el 1er qué es efe dt está este x así es que por supuesto beteta otra manera de ver esto es que si divides entre detecta ambas expresiones como si fueran números entonces obtendrías que de x en beteta es esta derivada que tenemos aquí así es que ambas expresiones son equivalentes y ahora vamos a hacer lo mismo para the yeah yeah yeah es igual a otra vez aplicando la regla el producto es la deriva el primero que es efe prima de teta por el segundo por seno de eta más efe dt está por la diva el seno de eta que es cosa nueva etapa más jefe de eta por josé no detectan ahora para calcular de s necesitamos primero la suma de dx cuadrada más de ye cuadrada hagamos eso dx al cuadrado para calcular dx al cuadrado elevamos primero todo esto al cuadrado y lo multiplicamos por detecta al cuadrado entonces va a ser el cuadro el primero que sería efe prima de teta elevado al cuadrado por coseno cuadrado de teta menos el doble producto que tenemos aquí menos dos veces efe prima de teta que multiplica a efe dt está y eso que multiplica acosen o dt está lleno de teta más el cuadro del segundo que sería más efe beteta al cuadrado por seno cuadrado de teta y eso por supuesto hay que multiplicarlo por dt está elevado al cuadrado bordet elevado al cuadrado y ahora calculemos de llegue al cuadrado así que llegué al cuadrado va a ser igual a bien este término al cuadrado aquí se me olvidó es de jane necesitamos un dt está así es que es el primer término elevado al cuadrado que va a ser efe prima dt está elevada al cuadrado por qué no puedo dt está por ser de eta más el doble productor de estos dos términos más dos veces efe prima de teta efe prima de teta por efe dt está efe primera etapa por efe detecta que multiplica seno de eta y con seno de eta lo va a poner como arriba que multiplica acocen no detecta por seno de eta y luego más el cuadro el segundo que es efe dt está al cuadrado coseno cuadrado de teta josé no puedo de teta y eso x dt está elevado al cuadrado ahora sumemos estos dos términos vamos a sumar ambos lados de las dos ecuaciones y que lo que obtenemos del lado izquierdo obtenemos dx elevado al cuadrado más de ye elevado al cuadrado y es igual aquí tenemos un término en común que se prima de teta elevado al cuadrado el cual podemos factorizar entonces la suma de estos dos términos nos quedaría vamos a sacar como factor efe prima de teta al cuadrado esto que tenemos aquí efe prima de teta al cuadrado que multiplica a kossen o cuando detectan coseno cuadro de teta más seno cuadrado de teta y esto está muy bien para nosotros porque es una identidad ya conocemos la identidad pitagórica que vale uno bien sigamos al siguiente terminó estos términos se cancela pues este término es el negativo desde acá así es que estos dos términos la suma cero y vamos al tercer término aquí también notamos que ponemos factorizar efe dt está elevado al cuadrado así es que más efe dt está elevado al cuadrado que multiplica a seno cuadrado detectan más coseno cuadrado de teta y otra vez esta identidad pitagórica que vale 1 finalmente ambos terminó está multiplicando por detecta al cuadrado así es que todo esto se multiplica por de teta de teta al cuadrado podemos pensar aquí estoy aquí son los coeficientes de tal cuadrado la cual estamos actualizando y esto ya nos queda más simple del lado izquierdo nos va a quedar dx al cuadrado más de ye al cuadrado y del lado derecho tenemos simplemente efe prima de tal cuadrado efe prima de teta elevado al cuadrado más efe dt está elevado al cuadrado efe dt está elevado al cuadrado y todo eso x déjame ponerlo con otro color no ese no es otro color lo pone mejor con este magenta si entonces esto que multiplica a dt está elevado al cuadrado ahora sabemos que de ese en la raíz cuadrada de eso vamos a escribir esto así es que de ese es igual a la raíz cuadrada de esto de aquí que lo mismo que la raíz cuadrada de estoy acá y aquí lo que podemos hacer con dt está elevado al cuadrado tenemos la raíz de algo elevado al cuadrado nos da simplemente ese algo que podemos factorizar así es que esto nos va a quedar la raíz cuadrada de efe prima de tele bado al cuadrado efe prima de teta elevado al cuadrado más efe dt está elevado al cuadrado y detecta al cuadrado como decíamos que es un factor podemos sacarlo de la raíz para que quede simplemente de teta y esto es interesante pues si quieres integrar esto es igual a integrar esto es igual a integrar esto lo cual finalmente es igual a ésta integral la cual vamos a evaluar desde el ángulo inicial que te iguala al fa hasta el ángulo final de tigua la beta y así ya tenemos espero que con la comprensión de los conceptos qué hay detrás de esto una fórmula para calcular la longitud de arco en coordenadas polares si tenemos que eres es igual a efe dt está encuentras lo que es el primer dt está la derivada de ere con respecto a teta elevada al cuadrado eso se lo sumas a efe dt elevado al cuadrado toma la raíz cuadrada de eso y lo integra con respecto a eta desde alfa hasta beta tenemos entonces que la longitud de arco l va a ser igual a esto que obtuvimos aquí y en los siguientes vídeos veremos cómo aplicar esto