Longitud de arco de curvas polares

lo que quiero hacer en este vídeo es obtener una fórmula para calcular la longitud de arco de una curva que está definida en coordenadas polares si esta curva de aquí es igual a efe de teta como calculamos la longitud de esta curva entre dos ángulos theta digamos como aparece en esta gráfica entre t t igual a cero radiales itt igual a pi sobre dos radiales entre cualesquiera límites para el ángulo theta la manera como lo vamos a hacer y si en algún momento dado te sientes inspirada o inspirado ponle pausa al vídeo e intenta obtener por tu cuenta la fórmula para la longitud de arco cuando estamos en coordenadas polares para esto vamos a hacer exactamente lo mismo que hicimos para obtener la fórmula de longitud de arco en coordenadas rectangulares empezamos tomando una pequeña sección de la longitud de arco supongamos que esta región que estoy marcando aquí es muy pequeña es infinitesimalmente pequeña esta es un pedazo una sección infinitamente pequeña de la longitud de arco la cual voy a llamar de ese y obviamente aquí se ve mucho más grande de lo que podría considerarse una longitud infinitesimal al sumar todas estas longitudes de arco infinitesimales al integrar las vamos a obtener entonces la longitud de arco de toda la curva podemos establecer entonces que la longitud de arco va a estar dada por la integral de todos esos infinitamente pequeños veces la suma infinita de esos infinitamente pequeños veces nos va a dar toda la longitud de arco ahora para expresar de ese en términos de ere y de teta que es lo que conocemos lo voy a expresar primero en términos de xy y luego haremos la transformación para que quede en términos de r y de teta lo cual ya hemos hecho antes cuando hemos convertido en coordenadas rectangulares a coordenadas polares sabemos entonces que de ese va a ser igual al infinitamente pequeño cambio en x elevado al cuadrado así es que si vamos de este punto a este punto que es el cambio en la longitud de arco entonces esta distancia aquí va a ser el cambio en x de equis y luego escribir todo en términos de diferenciales lo cual quizás tendríamos que formalizar más desde el punto de vista matemático aquí tendríamos que hablar primero de delta xy luego tomar el límite cuando delta x tiende a cero y yo lo voy a manejar así de manera informal pues esto nos permite de manera intuitiva tener un mejor entendimiento conceptual de lo que estamos haciendo así es que este es el cambio en x cuando vamos de este punto a este punto mientras que este de aquí es el cambio en y cuando vamos de este punto a este punto es de g y como ya vimos cuando obtuvimos la fórmula para longitud de arco en coordenadas rectangulares podemos establecer que de s es igual a la raíz cuadrada de de equis elevado al cuadrado más de ye elevado al cuadrado y esto lo obtenemos directamente al teoría de pitágoras más del elevado al cuadrado y si podemos integrar esto entonces obtenemos la longitud de arco pero como podemos expresar esto en términos de ere y de teta para esto tenemos que recordar la relación que existe entre las coordenadas rectangulares xy y las coordenadas polares y reiter x sabemos que es igual a r coseno de teta y esto ya lo vimos cuando empezamos a movernos entre coordenadas polares y rectangulares mientras que ye es igual a r seno de teta y ahora podemos usar esto para obtener de equis y de equis va a ser entonces igual a aquí tenemos que tomar en cuenta que r es una función de teta de hecho déjame escribir lo mejor de esta manera x también lo podemos escribir como fz que multiplica a jose no de teta y también por lo mismo que es igual a efe de teta que multiplica a seno de teta bien ahora si podemos obtener de x aplicamos la regla el producto es la derivada del primero que es f prima de teta por el segundo que es coseno beteta más la derivada del segundo la deriva del coseno de teta es menos seno de teta así es que es menos seno de teta seno de teta por el primero que es efe dz éste es de x así es que por supuesto de teta otra manera de ver esto es que si divides entre de teta ambas expresiones como si fueran números entonces obtendrías que de equis en de teta es esta derivada que tenemos aquí así es que ambas expresiones son equivalentes y ahora vamos a hacer lo mismo para belle de jour es igual otra vez aplicando la regla el producto es la derivada el primero que es f prima de teta por el segundo por seno de teta más efe dt está por la deriva de xenón beteta que es cosa nueva efe dt está por coseno dt está ahora para calcular de s necesitamos primero la suma de de equis cuadrada más de y cuadrada hagamos eso x al cuadrado para calcular de x al cuadrado elevamos primero todo esto al cuadrado y luego multiplicamos por de teta al cuadrado entonces va a ser el cuadro el primero que sería f prima de teta elevado al cuadrado por coseno cuadrado de teta menos el doble producto que tenemos aquí menos 2 veces efe prima de teta que multiplica a efe de teta y eso que multiplica al coseno de teta seno de teta más el cuadrado del segundo que sería más efe de teta al cuadrado por seno cuadrado de teta y eso por supuesto hay que multiplicarlo por de teta elevado al cuadrado porque te te elevado al cuadrado y ahora calculemos de ye al cuadrado así que deje al cuadrado va a ser igual a bien este término al cuadrado aquí se me olvidó es de que necesitamos un de teta así es que es el primer término elevado al cuadrado que va a ser efe prima de teta elevada al cuadrado por seno cuadrado de teta por cero grado de teta más el doble producto de estos dos términos más dos veces efe prima de teta efe prima de teta por efe dz efe prima detecta por efe de teta que multiplica seno de teta y coseno beteta lo va a poner como arriba que multiplica a coseno de teta por seno de teta y luego más el cuadro del segundo que es efe dt está al cuadrado coseno cuadrado de teta coseno cuado de teta y eso x de teta elevado al cuadrado ahora sumemos estos dos términos vamos a sumar a ambos lados de las dos ecuaciones y que lo que obtenemos del lado izquierdo obtenemos de x elevado al cuadrado más del elevado al cuadrado y eso es igual aquí tenemos un término en común que es f prima de teta elevado al cuadrado el cual podemos factorizar entonces la suma de estos dos términos nos quedaría vamos a sacar como factor f prima de teta al cuadrado esto que tenemos aquí efe prima de teta al cuadrado que multiplica a kosen o cuadrado de teta coseno cuadrado de teta más seno cuadrado de teta y esto está muy bien para nosotros porque esta es una identidad ya conocemos la identidad pitagórica que vale 1 bien sigamos al siguiente término estos términos se cancelan pues este término es el negativo de este de acá así es que estos dos términos la suma se hace cero y vamos al tercer término aquí también notamos que podemos factorizar efe de teta elevado al cuadrado así es que más efe de teta elevado al cuadrado que multiplica a seno cuadrado de teta más coseno cuadrado de teta y otra vez esta es la identidad pitagórica que vale 1 finalmente ambos términos están multiplicando por de teta al cuadrado así es que todo esto se multiplica por de teta beteta al cuadrado podemos pensar aquí estos de aquí son los coeficientes de desde tal cuadrado la cual estamos factor izando y esto ya nos queda más simple del lado izquierdo nos va a quedar de x al cuadrado más de g al cuadrado y del lado derecho tenemos simplemente f prima de teta al cuadrado efe prima de teta elevado al cuadrado más efe dt está elevado al cuadrado efe dt está elevado al cuadrado y todo eso multiplicado por deja de ponerlo con otro color no ese no es otro color lo va a poner mejor con este magenta sí entonces esto que multiplica a de teta elevado al cuadrado ahora sabemos que de ese es la raíz cuadrada de eso vamos a escribir esto así es que d s es igual a la raíz cuadrada de esto de aquí que lo mismo que la raíz cuadrada de esto de acá y aquí lo que podemos hacer con de teta elevado al cuadrado tenemos la raíz de algo elevado al cuadrado nos da simplemente ese algo que podemos factorizar así es que esto nos va a quedar la raíz cuadrada de f prima de tete elevado al cuadrado efe prima de teta elevado al cuadrado más efe dt está elevado al cuadrado y de teta al cuadrado como decíamos que es un factor podemos sacarlo de la raíz para que quede simplemente de teta y esto es interesante pues si quieres integrar esto es igual a integrar esto es igual a integrar esto lo cual finalmente es igual a esta integral la cual vamos a evaluar desde el ángulo inicial t t igual a alfa hasta el ángulo final de tigua la beta y así ya tenemos espero que con una comprensión de los conceptos que hay detrás de esto una fórmula para calcular la longitud de arco en coordenadas polares si tenemos que eres igual a efe de teta encuentras lo que es f prima de teta la derivada de r con respecto a teta l base al cuadrado eso se lo sumas a efe dt elevado al cuadrado tomar la raíz cuadrada de eso y luego íntegras con respecto a teta desde alfa hasta beta tenemos entonces que la longitud de arco l va a ser igual a esto que obtuvimos aquí y en los siguientes vídeos veremos cómo aplicar esto