Movimiento en el plano (con integrales)

una partícula que se mueve en el plano x m tiene como vector velocidad a vettel y tenemos este vector de aquí observa al usar esta anotación tenemos a la componente x del vector velocidad como una función del tiempo que es uno entre temas 7 y también podemos ver que la componente james del vector velocidad es también una función del tiempo y en este caso este elevado a la cuarta potencia para t mayor o igual a cero / igual a 1 la partícula está en el punto 3 4 y no os preguntan cuál es la magnitud del desplazamiento de la partícula entre el tiempo te iguala uno y el tiempo te iguala tres esta es mi primera pregunta y además me preguntan cuál es la posición de la particular entre igual a tres redondea la respuesta a la décima más cercana y como siempre pausa el vídeo consigue una calculadora creo que esta vez la vas a necesitar e intentar resolver este problema bien ya hemos resuelto varios problemas como este pero en una sola dimensión así que es buen momento para trabajarlo en dos dimensiones la clave es descomponer este vector en las componentes que lo forman es decir si queremos saber el desplazamiento entonces lo dividiremos en el desplazamiento en x el cual es básicamente el cambio en la componente x y el desplazamiento en el cuál será el cambio en y después vamos a usar ambos desplazamientos para encontrar la magnitud del desplazamiento de la partícula desde te iguala uno hasta te iguala tres usando el teorema de pitágoras y claro si ya sabemos el cambio en xy el cambio james podemos sumar el cambio en x a este 3 y el cambio en yemen a este 4 para así encontrar la posición de la partícula ente igual a 3 así que empecemos el cambio en x desde e igual a 1 hasta de igual a 3 va a ser igual a la integral de la componente x del vector velocidad desde de igual a 1 hasta de igual a 3 así que en dirección x tenemos la función 1 / tema 7 esa es nuestra velocidad x como una función del tiempo dt y como encontramos esta integral bueno podemos hacer una sustitución y si esto te parece poco familiar o podemos reconocer que esto es simplemente la derivada del logaritmo natural del valor absoluto de tema 7 porque observamos aquí está la derivada de de más 7 la cual es simplemente una aquí voy a poner uno entonces me queda el logaritmo natural del valor absoluto de temas 7 ok y tenemos que evaluar esto en 3 ya esto quitarle la evaluación en 1 lo que me quedaría el logaritmo natural del valor absoluto de 10 que bueno eso simplemente el logaritmo natural de 10 menos el logaritmo natural del valor absoluto de 8 lo cual es simplemente el logaritmo natural de 8 y ahora si usamos propiedades de los logaritmos vamos a obtener que esto es lo mismo que el logaritmo natural de 10 entre 8 lo cual es el logaritmo natural de 1.25 y puedo sacar mi calculadora y obtener fácilmente este valor pero lo voy a hacer en un segundo antes déjame calcular el cambio en james y el cambio james va a ser igual a la integral desde 1 a 3 este es el intervalo de tiempo que nos interesa y después tengo que mi componente james de mi vector velocidad este elevado a la cuarta potencia de t y usando el inverso de la regla de la potencia obtengo que esta derivada es de quinta en 35 y hay que evaluar esto en 3 y quitarle la evaluación en 1 y entonces me quedan 3 elevado a la quinta potencia entre 5 lo cual es 243 en 35 menos uno elevado a la quinta potencia de 35 lo cual es un quinto entonces esto me quedan 242 quintos que es 48.4 y ahora déjame sacar mi calculadora para obtener el logaritmo natural de 1.25 el logaritmo natural de 1.25 es aproximadamente un 0.22 si lo redondeamos a dos decimales entonces déjame ponerlo es aproximadamente 0.22 muy bien porque ya con esto podemos encontrar a la segunda pregunta cuál es la posición de la partícula ente igual a 3 bueno será la posición que tenemos entre igual a 1 ya cada una de estas componentes le vamos a sumar sus respectivos cambios así que la posición de la particular ente igual a 3 serán 3 más el cambio en x desde t igual a 1 hasta de igual a 3,4 más el cambio en yemen desde t igual a 1 hasta t igual a 3 así que esto va a ser igual bueno va a ser 3 más a 0.22 que es 3.22 aproximadamente como 4 + 48.4 lo cual es 52.4 bien ahora que ya resolvimos la pregunta número 2 habrá que resolver la primera pregunta cuál es la magnitud del desplazamiento bueno simplemente hay que usar el teorema de pitágoras haré un pequeño esbozo para que lo veas con más claridad observa por aquí tenemos a nuestra posición inicial qué es 34 / igual a 1 y ahora podemos ver que nuestro cambio en x no es muy grande nuestro cambio en x es de 0.22 se mueve ligeramente en esta dirección y nuestro cambio en james s si es muy grande se mueve dramáticamente en esta dirección y si ahora queremos sumar estos cambios juntos tenemos que encontrar la hipotenusa de este triángulo y justo la longitud de la hipotenusa será la magnitud del desplazamiento que buscamos es hora de obtener la la magnitud del desplazamiento va a ser igual a la raíz cuadrada del cambio en x al cuadrado más el cambio en jim al cuadrado y una vez más simplemente estamos usando el teorema de pitágoras y cuánto es esto bueno con la calculadora obtenemos esta cantidad elevada al cuadrado ok me da esto de aquí ya esto le voy a sumar 48.4 esto elevado al cuadrado esta es la suma y bueno a esto le voy a sacar la raíz cuadrada y por lo tanto obtengo 48.4 aproximadamente si lo redondeamos a la décima más cercana entonces déjame escribirlo estos aproximadamente 48.4 y lo hemos logrado por último tal vez estés tentado a decir que el desplazamiento es lo mismo que el cambio en jim y puedas confundirte pero eso no es del todo cierto la razón del porqué obtuvimos una magnitud del desplazamiento parecida al cambio en sport que el cambio en james es exactamente 48.4 mientras que la magnitud del desplazamiento es ligeramente mayor a 48.4 pero la redondeamos al décimo más cercano por eso sólo pusimos 48.4 y la razón del por qué obtuvimos un desplazamiento de 48.4 es porque nuestro cambio en x es muy recuerdan el cambio en x es de 0.22 lo que hacen que no se porten usa sea ligeramente más grande que el cambio en yemen esta es la razón del por qué tenemos esta magnitud en nuestro desplazamiento en ese instante en particular en general podrás ver que nuestra magnitud de nuestro desplazamiento va a ser mayor que nuestro cambio en x y que nuestro cambio en kiev perfecto ya está todo así que nos vemos en el siguiente vídeo