Área acotada por curvas polares

ya tenemos bastante experiencia calculando áreas bajo la curva cuando tenemos coordenadas rectangulares tomamos la suma de riman para una gran cantidad de rectángulos que tiene infinito a medida que se hacen infinitamente pequeños y de esa manera obteníamos el área pero ahora veamos qué sucede cuando tenemos coordenadas polares en coordenadas polares no encontramos propiamente el área bajo la curva aquí por ejemplo tenemos la gráfica de r igual a efe dt está trazada desde que teta es igual a alfa hasta que teta es igual a beta lo que quiero hacer en este vídeo es obtener una expresión general para encontrar el área de esta región que estoy marcando en azul esta región que podemos decir que está acotada por esos ángulos y la gráfica de r igual a efe de teta r igual a efe de teta y me gustaría que intentes desarrollar la expresión por ti mismo para lo cual te voy a dar una ayuda cuando hicimos el cálculo en coordenadas cartesianas dividimos las regiones rectángulos aquí los rectángulos no son tan obvios pues todos parecerían llegar a este punto pero qué tal si dividimos la región en estos que podríamos denominar sectores o más bien rebanadas de página así es que ahora en vez de tomar las áreas de rectángulos como hicimos en coordenadas cartesianas vamos a tomar el área de cada una de estas secciones que tenemos aquí que efectivamente parecen rebanadas de pan posteriormente tomaremos el límite a medida que estas rebanadas se hacen cada vez más pequeñas y por consiguiente el número de rebanadas se hace cada vez más grande es decir tomaremos el límite cuando el número de rebanadas tiende a infinito y aquí te voy a dar otra ayuda esta ayuda te va a servir para calcular el área de estas que ya estamos viendo que efectivamente parecen rebanadas de pan veamos voy a dibujar aquí lo mejor posible un círculo voy a hacer mi mejor esfuerzo para que quede efectivamente como un círculo aquí estaría el centro así es que si tengo un círculo no quedo tan mal verdad un círculo cuyo radio acr cuyo radio es r y si aquí tenemos un sector del círculo este es un sector del círculo aquí también tenemos r y si este ángulo mide teta entonces cuál va a ser el área de este sector cuál va a ser el área de este sector es la ayuda que te puedo dar suponiendo que el ángulo theta estén radiales como calculas el área de este sector y ver si puedes extender eso a lo que estamos intentando hacer aquí de alguna manera y aquí va otra ayuda usar integración para poder calcular el área de toda esta región supongo que ya lo intentaste pensemos entonces primero en esto para empezar cuál es el área del círculo completo eso ya lo sabemos el área de un círculo se calcula como pi por radio al cuadrado fórmula para el área del así que el área del sector va a ser entonces una fracción del área del círculo si este ángulo es zeta y tomamos en cuenta que una vuelta completa corresponde a un ángulo de 2 y radiales así es que el área del sector es una fracción theta sobre 2 pi del área del círculo multiplicamos entonces por theta sobre eta sobre te estás sobre 2 p y obtenemos el área del sector la cual calculamos como el área del círculo por la fracción que corresponde al sector con respecto a todo el círculo aquí podemos simplificar para obtener que el área del sector es igual a un medio de rr cuadrada por theta ahora qué sucede si en lugar de theta consideramos cada uno de estos pequeños ángulos cada uno de estos pequeños ángulos que dibujé aquí vamos ahora enfocarnos entonces en una de estas pequeñas rebanadas como esta de aquí que estoy resaltando en naranja y aquí la tenemos marcada en naranja en vez de que el ángulo sea theta vamos a suponer que el ángulo que define la rebanada es realmente pequeño vamos a tomar el diferencial del ángulo quizás matemáticamente es mucho más complicado pero lo que intento darte es la base conceptual de esto tendríamos que tomar delta theta y luego el límite cuando delta theta tiende a cero pero estoy dándole un enfoque más bien intuitivo así es que suponemos que aquí tenemos un cambio muy pequeño infinitamente pequeño en theta llamémosle de teta de teta mientras que el radio el radio de esta rebanada o la longitud podríamos decir de esta pequeña rebanada va a ser r como función de teta esta longitud está dada por r como función del ángulo teta allí así es que esta longitud está dada por r así es que cuál va a ser entonces el área de este pequeño sector el área de este pequeño sector en donde en vez de llamar al ángulo theta lo estoy llamando de teta el diferencial de teta así es que el área en vez de ser un medio de re cuadrada theta va a ser vamos a ponerlo aquí el área de este sector va a estar dada por un medio de r cuadrada de theta notamos que aquí el ángulo fue theta y aquí fue de teta súper súper súper pequeño ahora si quiero tomar la suma de las áreas de todos esos pequeños sectores desde que t t es igual a alfa hasta que te des igual a beta recordando que son sectores infinitamente pequeños con lo cual el número de ellos es infinito grande lo que tenemos que hacer para calcular el área de toda la región es simplemente integrar esta expresión así es que el área de toda esta región va a estar dada por la integral desde que teta es igual a alfa hasta que teta es igual a beta del área de cada uno de estos sectores es decir de un medio de rr cuadrada de teta donde r por supuesto es una función de teta así es que esto lo podemos escribir como esto es igual a la integral desde alza hasta beta de un medio de r de teta elevado al cuadrado de teta insistiendo que en este caso estamos suponiendo que r es una función de teta