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Transcripción del video

aquí tenemos dos gráficas polares r igual a 3 73 coseno de teta lo que queremos encontrar es el área de esta región en azul el área de traslape el área de intersección de estos dos círculos te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes hacer esto bien supongo que ya lo intentaste lo que es interesante aquí es que claramente la región está acotada por dos curvas distintas y parece que las curvas intersectan según vemos aquí a simple vista cuando teta es igual a pi sobre 4 esto lo podemos verificar fácilmente pues coseno de pi sobre 4 es igual a seno de pi sobre 4 por lo que es cuando el valor de estas curvas es el mismo así es que las curvas coinciden en este punto cuando te estás igual a pi sobre 4 si no fuera tan obvio tendríamos que igualar estas ecuaciones y resolver para theta pero aquí como mencionamos es algo que podemos establecer a simple vista así es que este es y sobre 4 y la clave aquí es darse cuenta que para teta entre 0 y pi sobre 4 la región está acotada por el círculo rojo r igual a 3 seno de teta es esta región que tenemos aquí mientras que para teta entre y sobre 4 y pi medios la región está acotada por el círculo negro r igual a 3 coseno de teta por lo que podemos dividir el área entre esas dos regiones así es que para esta primera región ya sabemos que el área va a estar dada por un medio de la integral definida desde cero hasta y cuartos de de la curva que limite esa región que está dada por tres seno dt está elevado al cuadrado de teta más el área comprendida por esta región que tenemos aquí en azul la cual va a estar dada por un medio de la integral definida y cuartos hasta y medios de tres coseno de teta elevado al cuadrado de teta que es el área de esta región en azul y algo que podemos apreciar de la gráfica es que el valor de estas áreas va a ser el mismo podemos ver que estos dos círculos son simétricos alrededor de esta línea cuya ecuación es tt igual a pi sobre 4 así es que lo que podemos hacer es calcular el valor de una de estas dos integrales para posteriormente al multiplicarlo por 2 obtener el área de toda la región y esto es algo que tú puedes verificar posteriormente pero aquí voy a usar esa simetría para calcular el área total simplemente como el doble de este valor es decir la integral definida desde cero hasta cuartos de aquí vuelva al cuadrado tenemos 9 que es el cuadrado de 3 que multiplica seno cuadrado de teta de teta y esto lo podemos evaluar a mano lo podemos evaluar con una calculadora vamos a evaluarlo analíticamente para esto sabemos que sea de teta es igual a un medio que multiplica a uno menos coseno de dos tetas esta es una importante identidad trigonométricas que nos hemos encontrado varias veces en nuestras clases de trigonometría déjame escribirla por acá seno cuadrado de teta es igual a un medio que multiplica a uno menos coseno de dos tetas así es que si sustituimos aquí esto obtenemos que es igual a esto es igual a un medio que voy a sacar del integral nos quedan 9 medios la integral de cero a pi cuartos de uno menos coseno de dos tetas de teta y esto es igual a nueve medios nueve medios que multiplica a veamos la anti derivada de uno es teta y la anti derivada de josé noé 2 teta esto va a ser igual a menos menos seno de 2 teta menos seno de 2 te está dividido entre 2 déjame mejor escribirlo de la siguiente manera déjame escribir lo mejor de la siguiente manera esto de escribir como menos un medio del seno de dos teta y esto lo puedes calcular haciendo una sustitución o adecuada pero podemos verificar que la derivada de seno de 232 coseno de dos tetas y cuando multiplicamos el 2 por menos un medio obtenemos simplemente menos uno dándonos menos 12 92 teta que tenemos ahí lo vamos a evaluar entonces en nuestros límites de integración lo vamos a evaluar en pi cuartos y en cero y aquí tenemos suerte pues al evaluar estos términos en cero toda la expresión se hace cero sólo necesitamos evaluar en pi cuartos por lo que esto es igual a nueve medios que multiplica a y cuartos menos un medio un medio de seno de dos por ti' cuartos seno de dos pop y cuartos es seno de pi medios seno de pi medios y aquí sabemos que ese nueve medios es igual a uno así es que este término de aquí se hace uno este término se hace uno y esto va a ser igual esto va a ser igual a nueve medios que multiplica a y esto lo podemos escribir como pi cuartos menos un medio o pi sobre cuatro menos dos sobre cuatro y podemos dejarlo así o podemos hacer la multiplicación por nueve medios para obtener entonces que esto es igual 9 y -18 9 menos 18 sobre 8 y así hemos concluido