Soluciones particulares de ecuaciones diferenciales: función racional

esta vez tenemos que f 2 es igual a 12 efe prima de x es igual a 24 entre x cúbica y queremos saber cuánto valen f 1 muy bien así que nos dan la derivada en términos de x entonces tal vez podríamos sacar la anti derivada de la derivada para encontrar nuestra función original así que hagamos eso entonces podemos decir que fx efe de x va a ser igual a la anti derivada o dicho otra manera la integral indefinida de f prima de x que es lo mismo que 24 entre x cúbica entre x cúbica pero en lugar de ponerlo así lo voy a poner de la siguiente manera lo voy a poner como 24 que multiplica a x elevado a la potencia menos 3 esto x y lo estoy poniendo de esta manera porque va a ser mucho más fácil resolverlo y trabajar con esto entonces cuál es la anti derivada de 24 x a la menos 3 bien solo vamos a usar la regla de la potencia a la inversa así que lo que vamos a hacer es tomarnos el 24 ok poner x y después aumentar el 1 el exponente me va a quedar menos tres más uno ya está dividido entre el exponente aumentado es decir menos tres más uno así que esto me quedaría mejor como x elevado a la menos 2 esto dividido entre -2 y ya está puedes ver que si llegamos a esta derivada observa si sacamos la derivada usando la regla de la potencia me quedarían menos dos veces 24 entre menos 2 el menos 2 con el menos 2 se cancelarían me quedaría simplemente 24 que multiplica a x ya este exponente habrá que darle uno entonces lo que daría 24 x elevado a la menos 3 que es justo lo que tenemos aquí así que lo que tenemos aquí es fx viene fx tiene que involucrar una constante entonces a esta expresión que tengo aquí le vamos a sumar una constante es que observa si tuviéramos que sacar la derivada de esta función bueno ya vimos que la derivada de 24 x a la menos 2 entre menos 2 es 24 x la menos 3 y la derivada una constante es cero simplemente desaparece así que no la vemos cuando tenemos la derivada es por eso que tenemos que asegurarnos de que aquí puede haber una constante y tengo un presentimiento basado en la información en la que nos dan de que vamos a usar esta constante así que permite escribir de nuevo a fx fx es esta expresión que tengo aquí efe de x es igual y tengo 24 entre menos 2 es menos 12 menos 12 x elevado a la menos dos más esta constante muy bien ahora la pregunta es cómo averiguamos el valor de esta constante y lo bueno es que nos han dicho que f de 2 es igual a 12 déjame atraparlo con este color así que vamos a escribir esto acá abajo tengo que efe de 272 es igual a 12 por una parte pero por otra parte tengo que es igual a menos 12 y en lugar de x voy a poner 2 que multiplica a 2 elevado a la menos 2 ok esto más una constante ahora cuánto es 2 elevado la menos 2 bueno aquí lo puedo hacer 2 elevado a la menos 2 es lo mismo que 1 / 2 elevado al cuadrado que es lo mismo que un cuarto entonces en lugar de esto voy a poner un cuarto un cuarto y de aquí obtengo lo siguiente que 12 es igual a menos 12 por un cuarto bueno eso es menos tres más esta constante que estoy buscando y si sumo tres de ambos lados voy a obtener que 15 15 es igual a esta constante y de lujo esto es lo que estaba buscando porque entonces podemos cambiar a ésta por 15 a esta otra sé por 15 y podemos escribir a fx de la siguiente manera fx va a ser igual y bueno en lugar de menos 12 x menos 2 esto lo puedo escribir como menos 12 / x cuadrada menos 12 entre x cuadrada más 15 y bueno ahora quiero averiguar cuántos efe - uno así que si en lugar de x pongo menos uno entonces acá abajo me va a quedar menos uno elevado al cuadrado y brasil puedo decir que en ft menos uno es igual a bueno menos uno al cuadrado es uno así que me va a quedar simplemente menos 12 más 15 y bueno eso es igual a 3 y ya con esto hemos acabado lo que buscábamos era efe de menos uno de brasil podemos decir que este de menos uno es igual a tres y hemos acabado