Ejemplo resuelto: problema verbal sobre el modelo logístico

la población p dt de bacterias en una placa de petri satisface la ecuación diferencial logística de la tasa de cambio de la población con respecto al tiempo igual a dos veces la población por la diferencia de 6 menos la población dividida entre 8 mil en donde te está medida en horas y la población inicial es de 700 bacterias cuál es la capacidad de carga de la población y cuál es el tamaño de la población cuando ésta crece más rápido ok para poder contestar estas preguntas recuerden que si en cualquier punto se sienten inspirados pause en el vídeo y traten de resolverlo ustedes primero vamos a ver recordemos que queremos decir cuando hablamos de la ecuación diferencial logística y la capacidad de carga miren una ecuación diferencial logística es cuando tenemos la tasa de cambio que generalmente se refiere a una población entonces la tasa de cambio de nuestra población con respecto al tiempo es proporcional de la población y la diferencia entre lo que conocemos como la capacidad de carga y la población este es un modelo que vemos mucho especialmente porque es muy útil para estudiar cosas como las poblaciones por ejemplo cuando una población es pequeña el ambiente generalmente no lo limita por lo tanto suponiendo que tenemos una población que empieza desde un valor diferente de 0 esto crece y esto no se hace muy pequeño así que la población tendrá una tasa de cambio que incrementa voy a dibujar una pequeña gráfica por aquí para enseñarles la solución típica de una ecuación diferencial logística aquí tenemos la población y este es el tiempo entonces cuando nuestra población es pequeña supongamos que empieza en un valor diferente de 0 porque si fuera 0 qué pasaría en ese caso nuestra tasa de cambio sería 0 y la población nunca crecería así que tiene sentido si no tenemos conejos en nuestra isla nunca habrá conejos en nuestra isla pero si tenemos algunos conejos inicialmente la tasa de cambio de la población seguirá creciendo conforme esto acelera pero en algún punto el medio ambiente limitará el número de conejos o en este caso de bacterias que pueden crecer en nuestro ambiente porque una vez que la población se acerca a esto se aproxima a cero provocando que nuestra tasa de cambio sea más y más pequeña así que podemos imaginar que en el caso límite conforme p se aproxima a infinito la tasa de cambio se aproxima a cero así que una forma de verlo es que nuestra población será una asín total que tiende hacia la capacidad de carga ésta es nuestra capacidad de carga hay un par de formas en las que podemos contestar esta pregunta una exponer la ecuación diferencial logística de esta manera y así podremos reconocer la capacidad de carga y la otra es pensar en qué pasa cuando te se aproxima a infinito conforme te sea próxima a infinito esto se aproxima a 0 por lo que podemos usar la ecuación diferencial logística para saber en qué valores de p esto es igual a 0 o se aproxima a 0 entonces vamos a resolverlo de las dos formas voy a escribirlo primero así aquí tenemos 6 - p entre 8000 yo quiero que lo escribamos de la forma en la que tenemos un número menos p miren si multiplicamos esto por 8 mil y después dividimos todo entre 8 mil no estaríamos cambiando el valor de la expresión así que vamos a hacerlo si dividimos esto entre 8 mil tenemos que dp entre dt es igual a 2 p entre 8000 que es p entre 4000 y ahora vamos a multiplicar esta expresión por 8000 entonces 6 por 8 mil 348 mil menos p entre 8000 por 8000 nos queda p listo ya escribimos esto de una forma más clásica y podemos ver que en este caso la capacidad de carga es de 48.000 podemos decir que es de 48 mil bacterias entonces esto es igual a 48 mil otra forma en la que podemos verlo es que bueno la capacidad de carga es lo que ocurre cuando te se aproxima a infinito entonces si t se aproxima a infinito esto de aquí se aproxima a 0 y podemos ver que la tasa de cambio se aproxima a cero entonces cuando eso pasa a que se aproxima p bueno simplemente podemos resolver esto 6 - p entre 8000 y aquí tenemos dos situaciones tenemos dos veces para las cuales la derivada es igual a cero el primer caso es cuando la población es cero y él acaso es cuando esto es igual a cero vamos a hacer si decimos que 6 p entre 8000 es igual a 0 o bien si decimos que p entre 8000 es igual a 6 si multiplicamos ambos lados por 8000 p es igual a 48.000 y eso es exactamente lo que tenemos aquí ahora respondamos la segunda parte cuál es el tamaño de la población cuando ésta crece más rápido bueno intuitivamente podemos ver que cuando la tasa de cambio acelera la tasa de cambio crece y crece pero conforme nos aproximamos a la capacidad de carga la tasa de cambio empieza a desacelerar así que la tasa de cambio máxima es cuando la tasa acelera más rápido eso es lo que ocurre justo aquí pero como lo sabemos exactamente bueno si regresamos a la ecuación diferencial logística podemos ver que la tasa de cambio es una función la podemos ver como una función de la población y esta es una expresión cuadrática una expresión cuadrática cóncava hacia abajo que se ve así la voy a graficar si gráfica mos la tasa de cambio de dp de t en función de la población cuando la población es pequeña supongamos 700 que es con lo que estamos empezando pero en términos generales si la población es pequeña la tasa es pequeña y va incrementando hasta que en algún punto la tasa de cambio empieza a decrecer y se aproxima a 0 se aproxima a 0 conforme la población se aproxima a la capacidad de carga por ejemplo aquí tenemos la capacidad de carga así que una forma de pensarlo es que este es el punto máximo pero como sabemos cuál es el punto máximo que tenemos aquí para eso hay un par de formas en las que podemos saberlo podemos hacer uso del cálculo o incluso del álgebra tenemos muchas herramientas para identificar este punto máximo que en realidad es como un vértice de esta parábola cóncava hacia abajo entonces encontremos el vértice observen que simplemente se encuentra a la mitad entre los dos ejes de esta expresión cuadrática así que necesitamos hallar los valores de p en donde p sea igual a 0 pues el vértice se encuentra justo a la mitad de ellos así que podemos decir que cuando la población es 0 nuestra tasa de cambio es 0 y cuando la población es a que ya sabemos que es 48.000 la tasa de cambio nuevamente es 0 por lo tanto como la tasa de cambio máxima se encuentra justo a la mitad de esos dos puntos es 24.000 es una población de 24.000 entonces podemos decir que esta función escuadra tica y como esta función cuadrática es una función de p en algún momento cuando llegamos a ese punto máximo que ocurre entre p igual a 0 y p 48.000 podemos decir que la población es de 24.000 bacterias y bueno al principio este problema parecía ser muy intimidante la ecuación diferencial logística puedo resolverla y analizarla pero la clave es que hay que reconocer una ecuación diferencial logística saber de qué se trata y después tal vez pensar en términos de nuestra tasa de cambio como una función de la población y recuerden la capacidad de carga es lo que ocurre cuando t se aproxima a infinito y conforme t se aproxima a infinito la tasa de cambio se aproxima a cero entonces si esto se aproxima a cero a que se aproximará nuestra población hemos terminado nos vemos en otro vídeo