Ejemplo resuelto: ecuaciones del modelo logístico

como ya hemos visto en los vídeos anteriores si tú comienzas con esta ecuación diferencial logística en donde bueno tenemos a efe que esencialmente dice qué tan rápido estamos creciendo cuando estamos sin restricciones por dos límites ambientales por otra parte aquí tenemos acá lo cual nos dice la población máxima que podemos alcanzar dados nuestros límites y bueno vimos que si nosotros queremos resolver esta ecuación y bueno claro sin contar las soluciones constantes es nada de igual a cero y llena de t igual a camps entonces como vimos en los vídeos anteriores nosotros obtenemos la siguiente función solución y déjame ponerla justo aquí n dt n y bueno aquí voy a poner a t así que déjame ponerlo con este color en el dtm va a ser exactamente igual que bueno primero vamos a empezar con una población inicial en el subíndice 0 en el subíndice 0 que es nuestra población inicial esto que a su vez se está multiplicando nuestra capacidad máxima de población es decir que esto que multiplica acá y bueno todo esto lo tenemos que dividir así que déjenme poner que todo esto lo vamos a dividir entre bueno primero hay que tomarnos la población inicial en el subíndice 0 ya esto le voy a sumar la diferencia que se da entre la población máxima y la población inicial es decir nos vamos a tomar acá menos en el subíndice 0 camps a esto le voy a quitar le voy a quitar n subíndice 0 ok justo con este color ok ya esto hay que cerrar el paréntesis y todo esto lo voy a multiplicar por la función exponencial por la función exponencial elevado a la menos rt elevado a la menos a la menos r ok que multiplica al esto que multiplica al tiempo y bueno todo esto es mi divisor así que déjame hacer hasta acá esta línea de lujo y además en el vídeo pasado vimos que esta es nuestra función logística esta de aquí es nuestra función logística logística ok y lo interesante de todo esto es que esta función no es una solución constante que es justo lo que queremos averiguar en nuestro modelo de población una solución no constante a esta ecuación diferencial logística a esta de equipo ok y la ecuación de ver justo y bueno ya que tenemos esta ecuación diferencial logística y bueno una vez que ya tenemos esta ecuación diferencia de logística y su solución vamos a aplicarla y justo vamos a trabajar con un problema de crecimiento poblacional y bueno qué te parece si para empezar hacemos algunas afirmaciones vamos a suponer lo siguiente primero vamos a suponer que estamos en una isla así que bueno digamos que aquí tengo a mi isla es más o menos este de aquí y bueno vamos a suponer que empiezo con 100 personas que por aquí tengo a 100 personas así que este de aquí va a ser en ese subíndice 0 la cantidad inicial de población y lo voy a poner justo con el mismo color en el subíndice 0 es igual a 100 personas y bueno también vamos a pensar que nuestro medio ambiente que nos da bueno esta isla es decir dada la tecnología actual de agricultura la disponibilidad de agua y bueno todo lo demás vamos a suponer que esta isla tiene una capacidad máxima de población de mil personas así que déjenme poner aquí a algunas otras personas y bueno ésta va a ser entonces nuestro valor de acá voy a decir que camps nuestra capacidad máxima de población es de mil personas ok es decir el límite de la población y bueno además vamos a pensar en cuanto va a ser nuestro valor de r y para eso vamos a suponer que generación tras generación que bueno eso es aproximadamente cada 20 años en cada 20 años ok vamos a suponer que vamos a tener un crecimiento del a nuestra población crece en un 50 por ciento entonces dejan poner decir cada 20 años vamos a tener un crecimiento del 50 por ciento ambiente gran ponerlo así crecimiento ok y es que esto nos va a ayudar a obtener a r es decir si en 20 años vamos a tener un crecimiento del 50 por ciento de nuestra población bueno dada esta información cuánto es lo que crece nuestra población anualmente es decir r ojo queremos saber el crecimiento anual de nuestra población y para esto vamos a traer por acá nuestra calculadora que es la tengo justo por acá y bueno con esta calculadora vamos a ver cuál de nuestro crecimiento anual porque si nosotros crecemos en un 50 por ciento nuestra población original bueno eso es lo mismo que tener 1.5 veces nuestra población original ya esto lo voy a elevar a am y donde están justo aquí lo voy a elevar a la potencia 1 entre 20 porque son 20 años 1 entre 20 y bueno esto es exactamente lo mismo que 1.020 48 esto esencialmente nos dice cuánto vamos a crecer poblacionalmente en el transcurso de cada año es decir crecemos en un factor de 1.02 1.0 2048 en un año es decir que otra forma de verlo y si regresamos aquí es que nuestro valor de r que es justo con este color nuestro valor de r va a ser exactamente igual o bueno aproximadamente igual que 0.1 0205 si nosotros lo redondeamos y bueno dejando poner aquí que este va a ser nuestro crecimiento anual crecimiento crecimiento anual crecimiento anual y ojo estamos contando atem en años así que déjame ponerlo estamos suponiendo que te está dado en años aquí lo voy a poner te está dado en años niños de lujo ok dado que te están años y que ya tenemos r en el subíndice 0 y acá como podemos escribir a nuestra función logística correspondiente es decir justo esto que tenemos aquí dado lo que ya sabemos así que para esto déjame ponerlo justo por acá n n ok dt y te déjame ponerlo con su correspondiente color ok lo tengo justo aquí en st esto va a ser déjame ponerlo con este color esto va a ser exactamente igual que en el subíndice 0 pero en el subíndice 0 es 100 en el subíndice 0 es 100 esto que multiplica acá ok pero el valor de cam es 1000 entonces esto que multiplica a 1000 ok esto que multiplica a mil es decir la población inicial que multiplica a la población máxima y esto a su vez lo voy a dividir esto a su vez lo voy a dividir entre la población inicial ok es 100 ok 100 más a esto le voy a sumar la diferencia de la población máxima menos la población inicial lo cual es 1.000 menos 100 bueno eso es lo mismo que 900 así que lo voy a poner aquí 900 que multiplica a esto que multiplica a la función exponencial ok elevado a la menos r ok elevado a la menos 0.02 05 que es justo el valor que tenemos aquí de r y esto multiplicado por el tiempo y justo aquí está nuestra función logística dada esta información de lujo y para corroborar que esta es en definitiva nuestra función logística es decir que esta es nuestra función que describe el crecimiento de la población dada esta información bueno para verificar lo que te parece si lo gráfica mos y para graficarlo dame un segundo para poner y justo la gráfica y aquí la tienes aquí tenemos la gráfica de esta función logística y lo primero que quiero que te des cuenta es que cuando nosotros tenemos un tiempo t igual a cero entonces nosotros estamos parados justo aquí en el valor de 100 es decir que nuestra población inicial es de 100 habitantes y es justo lo que queríamos y no sólo eso que después de 10 20 años date cuenta que nosotros estamos llegando justo al valor de aquí y este valor de aquí es exactamente lo mismo que 50 unidades después es decir 50 personas después de estas 100 personas iniciales dicho de otra manera está cumpliendo justo lo que tenemos aquí estamos cumpliendo justo esta parte de aquí que en los primeros 20 años esta parte de aquí que en los primeros 20 años tenemos un crecimiento del 50 por ciento o dicho de otra manera que el valor de r es igual a 0.02 puntos 0 5 o lo podemos ver como 2.200 5% que después de 20 años nos da un crecimiento de 50 individuos que es justo lo que vemos aquí es decir en la siguiente generación y si nosotros nos fijamos en la siguiente generación 20 años después bueno podemos estar muy cerca de 200 es decir vamos a aumentar en 75 vamos a estar en 225 y bueno eso es nuestra siguiente generación que estamos más o menos como por aquí y si nosotros nos fijamos en la función exponencial estaríamos más o menos como por aquí en esto difiere esta ecuación logística a la ecuación exponencial pero además date cuenta que si nosotros vamos aumentando el tiempo en esta gráfica de esta ecuación logística nos vamos a ir acercando y acercando y acercando al valor de 1000 que es nuestra población máxima que podemos alcanzar o bueno otra forma de verlo es que si nosotros no vamos a hacer tanto en la población a nuestra población máxima entonces date cuenta que nuestra tasa de cambio a nuestra tasa de cambio se va a ir acercando y acercando y acercando cada vez más es decir nos vamos a ir acercando y acercando y acercando al valor de la población máxima pero nunca lo alcanzamos nos vamos a ir acercando mientras el tiempo pase pero nunca vamos a llegar a esta población máxima y bueno además esta gráfica nos ayuda a resolver varias preguntas por ejemplo si nosotros queremos pensar cuántos años deben de transcurrir para llegar al 90% de nuestra población máxima bueno si te das cuenta el 90% está justo por aquí y entonces a nosotros nos vamos acercando a este valor que está más o menos por aquí y si nosotros ahora bajamos por acá antes vas a dar cuenta que esto toma el valor de 210 220 es decir tendrán que pasar 220 años aproximadamente en esta isla para que lleguemos hasta esta población del 90 por ciento y bueno doscientos diez años suena muy grande en una escala humana pero si nosotros pensamos una escala cósmica bueno bueno es muy grande una escala cósmica pero también 210 años muy grande para una escala humana esto pasaría después de varias generaciones pero bueno lo que quiero que veas es que este es un modelo bastante interesante de hecho hasta me gustaría que fueras y comparadas este modelo con los datos reales de alguna isla que pase justo esto de aquí que bueno todo esto nos da a pie a pensar en un límite en este límite que nos da a la ecuación o la idea que tuvo maltos a este límite de población máxima que podemos alcanzar y bueno además es importante mencionar que esta idea del límite maltusiano an ha ido creciendo y creciendo dado el crecimiento y la mejora de la tecnología como por ejemplo una mejor tecnología para producir más cultivos o tal vez mejores leyes para que bueno pues las personas no se maten las unas a las otras o tal vez a un mejor control del agua y algún plan para que el agua llegue a todos o cosas de ese estilo y bueno es que todo esto nos ha ayudado a qué del límite maltusiano crezca y crezca más y más y más es decir que si nosotros le preguntáramos a thomas malthus si él creía que en el año 2014 iba a haber siete mil millones de personas en toda la tierra seguramente él te diría que eso está muy lejos de su límite más altos ya na de este límite de aquí que seguramente él lo habrá pronosticado para mil millones de personas o dos mil millones de personas y bueno este límite ha crecido hasta siete mil millones de personas por todo lo que ha crecido la tecnología el mejoramiento de la tecnología bueno el mejoramiento de las leyes de la agricultura y todo lo que se pueda mejorar y bueno quién sabe qué suceda tal vez estos son un poco loco pero puede ser que en algún momento de la tierra llegamos a 20 mil millones de personas y bueno tal vez eso suene imposible dada nuestra tecnología actual pero quién sabe tal vez si sigue mejorando la tecnología se pueda lograr lo cual no sé qué tan bueno sea pero así es como son las cosas