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Ecuaciones diferenciales separables

La separación de variables es un método común para resolver ecuaciones diferenciales. Aprende cómo se hace y por qué se llama de esta forma.
La separación de variables es un método común para resolver ecuaciones diferenciales. Veamos cómo se hace al resolver la ecuación diferencial dydx=2x3y2:
(1)dydx=2x3y2(2)3y2dydx=2xMultiplica por 3y2.(3)3y2dy=2xdxMultiplica por dx.(4)3y2dy=2xdxToma la integral.(5)y3=x2+CIntegra.(6)y=Ax2+C3Despeja y.

Revisemos esta solución.

En las filas (1) a (3), manipulamos la ecuación para llevarla a la forma f(y)dy=g(x)dx. En otras palabras, separamos x y y de tal manera que cada variable tenga su propio lado, incluyendo los términos dx y dy que formaban la expresión de la derivada dydx. Por ello, este método se llama "separación de variables".
En la fila (4), tomamos la integral indefinida de cada lado de la ecuación. El principio subyacente, como siempre con las ecuaciones, es que si f(y)dy es igual a g(x)dx, entonces sus integrales indefinidas también deben ser iguales.
En las filas (5) y (6), llevamos a cabo una integración con respecto a y (en el lado izquierdo) y con respecto a x (en el lado derecho) y luego despejamos y.
Solo sumamos una constante C al lado derecho. Sumar una constante a ambos lados es innecesario, porque luego podemos mover una de ellas al otro lado y terminar con una sola.
En conclusión, la solución general de dydx=2x3y2 es y=Ax2+C3. Puedes derivar y para verificar esta solución.
Si volvemos a mirar la solución de la ecuación, observamos cómo la separación de variables que realizamos en las filas (1) a (3) nos permitió integrar cada lado y obtener una ecuación sin una derivada.
Problema 1.A
El conjunto de problemas 1 te guiará por el proceso de resolver esta ecuación diferencial:
dydx=exy2
¿Cómo se ve la ecuación después de la separación de variables?
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