Abordaje el tratamiento de las diferenciales algebraicamente

cuando aprendieron cálculo por primera vez aprendieron que la derivada de alguna función efe podría ser escrita como f prima de x bueno de que hay muchas formas en las que podemos escribir esto pero deseamos que f prima tx es el límite cuando delta de x tiende a cero de f de x más delta de x y a esto le quitábamos fx y todo esto lo dividimos entre delta de x y aprendieron varias notaciones para esto por ejemplo sabemos que si que es igual a fx entonces podemos escribir a efe prima de x como y prima o la podríamos ver como la derivada de con respecto x lo cual es exactamente igual que la derivada de f con respecto a x porque que es igual a nuestra función pero después especialmente cuando empezamos a entrar en ecuaciones diferenciales ven que la gente comienza a manejar esto son como una expresión algebraica real por ejemplo aprenderán o podría ser que ya lo vieron que si estamos tratando de resolver la siguiente ecuación diferencial la derivada de con respecto a x igual hay quien entonces la tasa de cambio de que con respecto a x es igual al valor de 10 es lo que me dice esta expresión y de hecho es una de las ecuaciones diferenciales más básicas que podrían resolver verán para esto aplicamos la siguiente técnica donde en general decimos bien sólo vamos a multiplicar de ambos lados por de x solo manejando de x como si fuera una expresión algebraica entonces multiplicarían de ambos lados por de x y luego estas de x se cancelarían algebraica mente y entonces nos quedaríamos que de james es igual a gem x x y bueno después dicen ahora vamos a dividir de ambos lados entre james lo cual es una cosa razonable de hacer ya que james es una expresión algebraica así que se dividen de ambos lados entre james y obtienen que uno entre james x de james es igual a de x y luego amigos integran de ambos lados para encontrar una solución general para esta ecuación diferencial y ya está pero mi objetivo aquí en este vídeo no es pensar en cómo resolver esta ecuación diferencial lo que quiero hacer es pensar en esta noción de usar lo que llamamos diferenciales es decir una de equis o una de james y que veas que pueden ser manejados de una manera deje práctica donde puedo simplemente multiplicar ambos lados por de x o de james o dividir de ambos lados entre de x o de gemma y normalmente no digo esto pero el rigor que necesitan para mostrar que esto se puede hacer y que es correcto no es algo fácil de decir y entonces quiero que te quede claro que esto es bastante intuitivo pero no es muy matemáticamente riguroso ahora lo que sí es que es una herramienta bastante útil para nosotros para encontrar las soluciones este tipo de ecuaciones y conceptualmente la forma en la que planteó una de james o un de equis esquema de james es un cambio muy pequeño en james en respuesta a un cambio muy pequeño en x de x y esto es esencialmente lo que la definición del límite nos está diciendo especialmente cuando delta de x se aproxima a 0 a tener un cambio muy pequeño en x de x y luego vamos a tener acá arriba un cambio resultante bien muy pequeño de james entonces ésta podría ser una manera para sentirse un poco mejor y en realidad esta es una de las justificaciones para este tipo de notación cuál es el cambio muy pequeño en james para un cambio muy pequeño en x lo cual nos está dando el sentido de cuál es el valor limitante de la pendiente es decir cuando pasamos de la pendiente de la recta secante hacia la pendiente de una recta tangente y si lo ven de esta manera podrán sentirse un poco mejor usando estos diferenciales y manipulando los algebraica mente así que el gran panorama es utilizar esta técnica que muchas veces verán en las clases de introducción a las ecuaciones diferenciales en las clases de introducción al cálculo multi variable y en las clases de introducción al cálculo pero no es muy matemáticamente riguroso manejar diferenciales como expresiones algebraicas pero a pesar de que no es muy matemáticamente riguroso podemos hacerlo a discreción y de esta manera usarlo para que no sea útil ahora a medida de que se vuelven más sofisticados en sus matemáticas hay definiciones rigurosas de un diferencial donde pueden obtener un mejor sentido sobre cuando es matemáticamente riguroso usar de esta manera las diferenciales como expresiones algebraicas y cuando no pero aquí el objetivo completo el vídeo es si tuvieron un pequeño sentimiento extraño multiplicando de ambos lados por de equis o dividiendo de ambos lados entre de james o de equis su sentimiento estaba justificado matemáticamente ya que no es una cosa muy rigurosa de hacer al menos hasta que tengan más rigor detrás pero les diremos que si son estudiantes de una clase introducción es una cosa razonable de hacer mientras exploran y manipulan algunas de estas ecuaciones diferenciales básicas