Ejemplo resuelto: ecuaciones diferenciales separables

lo que vamos a hacer en este vídeo es practicar cómo encontrar soluciones generales para ecuaciones diferenciales separables digamos que tenemos una ecuación diferencial de de x la derivada de ye con respecto a x es igual a a la x entre y traten de encontrar la solución general para esta ecuación diferencial y les doy una pista enorme es una ecuación diferencial separable al trabajar con ecuaciones diferenciales separables lo que queremos hacer es tener las 10 y las leyes en un lado y a las x de x en el otro lado es algo parecido a tratar estas diferenciales como si fueran variables lo cual es muy útil con las matemáticas vamos a hacerlo si multiplicamos ambos lados porque que vamos a tener ya por la derivada de ye con respecto a x igual a a la x y ahora vamos a multiplicar ambos lados de la ecuación por la diferencial de x estas se cancelan y nos queda y por dg iguala a la x x de x ahora vamos a calcular la integral en ambos lados cuál es la integral de i d y aplicamos el inverso de la regla de la potencia incrementamos el exponente y dividimos todo entre este exponente incrementado ya al cuadrado entre 2 esto es igual a cuál es la integral de a la x de x lo genial de la ala x es que su derivada y su anti derivada son exactamente lo mismo esto es igual a a la x + c podríamos dejar esto así si quisiéramos de hecho esto así como ésta no es una función explícita ya no es una función explícita de x podríamos decir que es igual a más o menos la raíz cuadrada de a la x más c entre 2 pero ésta es una ecuación bastante general que satisface esta ecuación diferencial separable hagamos otro ejemplo digamos que tenemos la derivada de con respecto a x que es igual ayer al cuadro por ser de equis pausa en el vídeo y traten de encontrar la solución general nuevamente queremos separar nuestras yes y nuestras x podemos multiplicar ambos lados porque a la menos 2 y también podemos multiplicar ambos lados por de x la ponemos aquí se cancela con esta la ponemos también por acá nos queda allí a la menos dos por igual x b x finalmente integramos ambos lados cual es la anti derivada de al menos 2 de nuevo usamos el inverso de la regla de la potencia incrementamos el exponente por lo que nos queda ya a la menos uno y dividimos entre el exponente incrementado que es menos 1 con lo que esto nos queda negativo esto va a ser igual a cuál será la anti derivada de seno de x podrán reconocerlas y pongo un signo menos aquí y otro signo menos acá la anti derivada de menos seno dx es coseno de x x todo esto es igual a menos coseno de x otra forma de escribir esto es multiplicar ambos lados por menos 1 y nos queda 1 entre james es igual a coseno de x y casi se me olvide escribir la constante ponemos más o puedo tomar el recíproco de ambos lados si quiero tener la función explícita para ayer y nos queda igual a 1 entre coseno de x más c esta es nuestra solución en general y con esto terminamos