Verificar soluciones de ecuaciones diferenciales

esta vez tenemos la derivada de james con respecto a x igual a 4 james entre x y bueno en este vídeo lo que veremos es que la solución de una ecuación diferencial no es un valor o un conjunto de valores en cambio será una función o un conjunto de funciones pero antes de intentar resolverla o querer encontrar todas las soluciones probemos con algunas funciones para ver si son o no soluciones de esta ecuación por ejemplo qué pasa si trabajamos con ye igual a 4x será esta función solución de la ecuación diferencial pausa el vídeo e inténtalo bueno para ver si esta función es solución primero tenemos que encontrar la derivada con respecto a equis y ver si en efecto se cumple que esa derivada es igual a cuatro veces ya entre x para ello intentaré expresar todo en términos de x y ver si obtenemos una igualdad entonces primero encontremos cuál es la derivada de que con respecto a x la cual es simplemente cuatro ya hemos calculado varias derivadas similares anteriormente y por lo tanto queremos probar que 4 es decir la derivada de ye con respecto a x esto sea igual a 4 james entre x y pondremos a quien como 4x porque vamos a expresar todo en términos de x y entonces me va a quedar que esto va a ser igual a 4 por james pero lleva a leer 4 x 4 x y esto a su vez dividido entre x será cierta esta igualdad bueno pues la x que divide y la x que multiplica se cancela y me queda que 4 es igual a 16 lo cual no es cierto esto no es cierto y entonces puedo decir que esta función no es una solución en ecuación diferencial déjame escribirlo esta función no es solución bien pensemos en otra función que te parece esta vez tomarnos a james igual a equis elevado a la cuarta potencia será esta solución de mi ecuación diferencial bueno de nuevo pausa el vídeo e inténtalo ok hagamos lo mismo cuál es la derivada de james con respecto a x bueno si utilizamos la regla de la potencia esto me quedara común 4x elevado al cubo 4x cúbica y entonces queremos comprobar que 4x cúbica sea lo mismo que cuatro veces james pero recuerda james es lo mismo que x cuarta entonces voy a expresar todo en términos de x por james que es x 4a ok esto entre x será cierta esta igualdad veamos x cuarta entre x esto es lo mismo que x kubica entonces me queda que 4x kubica es igual a 4 x cúbica y eso es cierto por lo tanto esta función si es una solución de mi ecuación diferencial no es forzoso que sea la única solución pero al menos es una solución a esta ecuación diferencial así que le pondré una palomita muy bien ahora qué te parece si agarramos otra ecuación diferencial vamos a escribir otra ecuación diferencial pero connotación distinta imagina que tenemos la siguiente ecuación diferencial f prima de x esto es igual a efe de x ya esto le voy a quitar x ok en la primera función que quiero que probemos es la función no sea jefe de x igual a 2x es esta función solución de esta ecuación diferencial para el vídeo e intenta comprobar lo bueno para comprobarlo necesitaremos encontrar a efe prima tx efe prima de x en esta ocasión va a ser simplemente 2 estás de acuerdo y bueno ahora hay que comprobar esta igualdad será cierto que 2 es igual a efe de x pero fx en términos de x es 2x entonces voy a escribir 2x esto menos x será cierto esta igualdad bueno de aquí obtenemos que 2 es igual a x ahora bien puede ser que estés tentado a decir muy bien encontré un valor para x pero realmente lo que nos dice esta expresión es que está fx no es una solución porque esto debe ser cierto para todas x que se encuentren en el dominio de la función no solamente para una equis y entonces voy a indicar que no está no es una solución déjame escribirlo y en esto déjame ser muy claro para que una función sea solución de una ecuación diferencial debe cumplirse esta igualdad para todas x que pongas en la función bien veamos otra función más pensemos ahora en fx igual a bueno que tal x + 1 será esta función solución de esta ecuación diferencial ok de nuevo pausa el vídeo e inténtalo ok hagamos el mismo procedimiento tienes efe prima de x bueno esto va a ser simplemente la derivada de x con respecto x es 1 y la derivada de 1 con respecto a x es 0 entonces me quedara una y entonces queremos probar que efe prima de x es decir 1 sea igual a fx pero expresada en términos de x es x + 1 x + 1 + 1 y esto menos x y abraham observa no importa que x pongas aquí siempre se va a cumplir esta ecuación siempre se va a cumplir que uno es igual a uno y entonces ahora sí puedo decir que esta de aquí si es solución de ecuación diferencial muy bien probemos con otra función más para eso de que me bajar la pantalla y me voy a quedar con mi ecuación diferencial que escribí de color morado con mi segunda ecuación diferencial y ahora quiero probar otra función se me ocurre tomar la función efe de x igual a y elevado a la equis ok más x más 1 será esta una solución de la segunda ecuación diferencial bueno pausa de nuevo el vídeo e intenta encontrar la respuesta bien primero encontremos la derivada de esta función efe prima de x y la derivada de esta función va a ser igual tengo la derivada de a la x con respecto a x bueno esto es simplemente a la x que hasta el día de hoy me parece sorprendente ya esto le sumamos la derivada de x con respecto a x lo cual es 1 o que ésta es mi derivada y ahora sustituyamos todo esto en nuestra ecuación diferencial dicen f prima de x pero f prima de x es el elevado a la x más 1 esto debe de ser igual a bueno a fx que es toda esta expresión elevado a la x + x + 1 ok ya esto le tenemos que quitar x será cierta esta igualdad bueno pues es cierto porque esta x y esta x se cancelan y me queda simplemente elevado a la x + 1 así que en efecto esta otra función también es solución déjame anotarlo y ya está con esto hemos acabado nos vemos en el siguiente vídeo hasta la próxima