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Transcripción del video

aquí tenemos la gráfica de la función ye igual a x elevada para tres medios y lo que quiero hacer es obtener la longitud de arco desde que x es igual a cero hasta que x es igual a una toma un número raro pues en ocasiones los números raros no funcionan muy bien entonces va a tomar la longitud de arco desde que kiss es igual a cero hasta que kiss es igual a 32 novenos 32 novenos vamos a ubicar 32 novenos 32 novenos equivale a 3 enteros 5 novenos 3 enteros y un poquito más que la mitad más o menos por aquí estaría 32 novenos entonces lo que queremos calcular es esta longitud de arco esta longitud que estoy poniendo en amarillo desde que x es igual a cero hasta que kiss es igual a 32 novenos te invito a que le pongas pausa el video e intentes hacerlo por tu cuenta supongo que ya lo intentaste y si en cualquier momento te sientes inspirado como para concluir el problema pone pausa y concluyendo por tu cuenta así es que vamos a aplicar la fórmula de longitud de arco que desarrollamos de manera conceptual sin el rigor matemático usual en el vídeo anterior así es que sabemos que la longitud de arco la longitud de arco es igual a la integral definida desde que kiss es igual a cero hasta que kiss es igual a 32 novenos no pensándolo bien voy a poner la fórmula general para que puedas ver cómo aplicamos a nuestro ejemplo entonces es la integral desde a hasta bbb de la raíz cuadrada de uno más efe prima de x elevada al cuadrado de x en nuestro caso es igual a integral desde que kiss es igual a cero hasta que kiss es igual a 32 novenos de la raíz cuadrada de uno más la derivada de efe cuál es la verdad df 7 de x es igual a x a la tres medios efe prima de x es igual a tres medios x elevada a la un medio y esta función hemos escogido a propósito así pues cuando la sustituimos aquí dentro del radical la expresión se simplifica de tal manera que el anti derivadas y obtiene fácilmente así es que hemos hecho mucha ingeniería en este problema para que los números no funcionen perfectamente entonces efe prima de x elevada al cuadrado efe prima de x elevada al cuadrado es igual a 9 cuartos de x así es que aquí es uno más no de cuartos de x dx ya tenemos entonces la integral definida y ya sabemos cómo encontrarla anti derivada de esto podría hacerla mentalmente básicamente haciendo la sustitución no tienes uno más nueve cuartos de x la derivada es uno de cuartos y así manipular integrando de manera adecuada pero aquí vamos a desarrollar el proceso de sustitución así es que haciendo la sustitución u tenemos que huir es igual a 1 +9 cuartos de x con lo cual deben de x la deriva de eeuu con respecto a xd buen dx es igual a 9 cuartos o lo que es lo mismo de eeuu es igual a 9 cuartos de x o despejando dx despejando de x aki multiplicó por cuatro novenos ambos lados para obtener que de x es igual a 4 novenos de eeuu 4 novenos de eeuu veamos ahora los límites de integración cuando x es igual a cero cuando x es igual a cero o es igual a 1 +9 cuartos por 0 1 +0 o es igual a 1 y ahora cuando x es igual a 32 novenos cuando x es igual a 32 novenos veamos porqué escogimos ese valor u es igual a 1 +9 cuartos por 32 novenos esto es uno más treinta y dos cuartos 1 +8 es igual a 9 estupendo como vez así es que esto es igual a la integral definida de hecho deja de poner claramente que esto es igual a esto integral definida desde que eeuu es igual a uno hasta que eeuu es igual a 9 y aquí ya ha puesto cara este que ahora nuestra variable integraciones uu de la raíz cuadrada de eeuu y en vez de x tenemos nueve cuartos de eeuu deja de poner lo mejor de otra manera entonces la raíz cuadrada oops es el color adecuado la raíz cuadrada de eeuu y en vez de dx tenemos cuatro novenos de eeuu voy a sacar 4 - fuera el integral quattro novenos de eeuu y aquí por supuesto ya sabemos aplicar piedra fundamental del cálculo el segundo tema fundamental del cálculo para resolver este integral definida esto es igual a 4 novenos que multiplica a la anti derivada de la raíz cuadrada de eeuu que es lo mismo que un ala un medio la antidiva de google un medio es igual a un elevado a tres medios entre tres medios que podemos poner como dos tercios y esto evaluado entre o igual a 9 y u igual a uno y aquí ya estamos en la recta final esto es igual a 4 novenos que multiplica a ver vamos a evaluar esto de aquí dos tercios por nueve elevado a la tres medios menos dos tercios que multiplica a uno elevado a tres medios y aquí tenemos que nueve a tres medios es la raíz cuadrada de 9 estrés elevado al cubo 3 al cv vez 27 y esto por supuesto es uno y esto nos queda como dos tercios que multiplica ha hecho mejor vamos a factorizar dos tercios para facilitar las cosas así es que esto nos va a quedar como dos tercios por cuatro novenos es igual a 8 sobre 27 únicamente factor izado el dos tercios y aquí nos queda 27 - uno digamos dentro de los corchetes nos queda 27 menos uno que es igual a 26 esto nos queda 8 sobre 27 por 26 y por supuesto este resultado lo podemos simplificar más calcular cuánto es 8 x 26 sobre 27 de hecho vamos a hacer esto simplemente para divertirnos esto es igual entonces veamos 8 x 20 660 8 por 648 160 +48 ex 208 sobre 27 y así y así hemos concluido