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Transcripción del video

les presento a una parte de la gráfica hay es igual a x cuadrada y lo que vamos a usar es nuestros poderes que tenemos de integral definida para encontrar los valores del área bajo la curva así que recordemos que va a pasar cuando nosotros tomábamos la expresión de la integral definida de 0 a 2 dx cuadrada de x que es lo que representaba entonces vamos a buscar estos puntos x igual a cero es este de aquí y vamos a suponer que éste que estoy dibujando sx igualados y bueno lo que hacíamos es que para cada equis encontramos un pequeño dx alrededor de ella esté aquí es nuestro pequeño dx y bueno a este x lo multiplica vamos por nuestra función es decir por equis cuadrada por lo tanto lo que nos fijábamos era en este rectángulo de aquí y sacábamos su área lo único que estamos haciendo es multiplicando la base que este x por la altura que es la función en este caso x cuadrada y bueno al final lo que deseamos es que la integral definida dada por la expresión que tenemos aquí arriba tomamos la suma de todos estos rectángulos para todo el eje x en el intervalo de 0 a 2 y después si se acuerdan lo que hacíamos era tomar el límite de estos rectángulos cuando dx es ya muy muy muy pequeño tan pequeño que decíamos que era infinitamente pequeño casi casi cercano a cero y eso nos daba la idea de poder decir que íbamos a tomar la suma de todos estos rectángulos pequeños entonces tú ya te puedes imaginar que si nosotros hacemos a de x pequeño pequeño pequeño entonces estos rectángulo se vuelven delgado delgado delgados y por lo tanto tenemos una mejor mejor mejor aproximación una mejor aproximación del área bajo la curva que estamos buscando ahora lo que quiero en este vídeo no es mostrarles el área bajo la curva sino lo que voy a querer es rodar esta función alrededor del eje de las x y para esto voy a necesitar todos tus poderes de visualización para que nosotros entendamos qué es lo que está sucediendo bueno pues nosotros giramos esta función alrededor del eje de las x entonces va a tener una base muy parecida a ésta imagina y bueno también tener que dibujar la función pero en esta ocasión hacia abajo y ya lo tenemos aquí esto es muy parecido al chocolate quise es tal vez oa las piezas que tenemos en algunos juegos de mesa o tal vez algún tipo de gorro extraño algo así como los gorros de fiesta pero aplastados y bueno ahora le voy a dar un poco de volumen esto ya le da más proporción y la verdad estoy intentando que mi dibujo me quede lo mejor posible para que tú me entiendas y visualiza es que es lo que está pasando me tienes que echar porras para que tú lo veas muy bien voy a intentar dibujar lo en varios ángulos así que vamos a dibujar otro tipo de ángulo y para que sea mucho más sobrio que se ve como un sombrero imagínate qué bueno esa es la base del sombrero y todo esto es el cuerpo del sombrero y si lo viéramos desde esta perspectiva no podremos ver la parte de atrás pero tenemos la parte de enfrente y bueno si lo que quieres es orientarte un poco acerca de dónde estamos parados en esta función pues este va a ser nuestro eje de las 10 y entonces este otro el que está adentro del sombrero es el eje de las x para que no te pierdas imagínate que este sombrero es transparente y si fuera transparente entonces ésta sería la parte de atrás de este sombrero y bueno si fuera transparente entonces podremos ver que la base se intersecta tarde o temprano con el eje de las x aki y perfecto ya tenemos otra perspectiva de este mismo sombrero ya puedes ver desde dos tipos de perspectivas distintas la pregunta importante de este vídeo es cómo encontramos el volumen de este sombrero para esto me voy a pasar también en la idea de los rectángulos pero en esta ocasión en lugar de fijarme en lugar de pensar en el área bajo la curva voy a pensar que esos rectángulos lo que van a hacer es cuidar también alrededor del eje las x que es lo que nos quedaría si esto pasa pues no nos queda más que hacerlo entonces haber tomemos a uno de esos rectángulos supongamos que tenemos a éste de que es que tengo aquí y lo que voy a hacer es cuidarlo alrededor del eje de las x y con esto me va a quedar un tipo de moneda o un tipo de disco de hecho se llaman discos aquí en otro dibujo me quedaría algo así y bueno este disco tiene un grosor de dx ahora la pregunta correcta es cómo vamos a encontrar el volumen de este disco y bueno para esto deja de dibujar de lo aquí es muy importante que siempre estamos trabajando con la visualización este de aquí va a ser mi disco se va a haber más o menos así está que estoy dibujando es la cara de este disco este suceso entró y lo último que estoy dibujando es su grosor su grosor que es de x y bueno para sacar el área de este disco lo que voy a pensar es en sacar el área de un cilindro porque este disco al final es un cilindro y si tú recuerdas cómo sacar el volumen de un prisma me vas a decir que es el grosor por el área de la cara ahora la pregunta es cómo sacamos el área de esta cara que yo tengo aquí bueno pues el área de un círculo muy bien y cómo sacamos el área de un círculo bueno el área de un círculo espí porra del cuadrado ahora la pregunta es quién es el radio de este círculo de este disco o operó el radio de este disco no es ni más ni menos que quieren que la función porque era el alto del rectángulo es decir el radio es la función que nosotros tenemos que en este caso es x cuadrada y entonces ya podemos sacar la fórmula del área el área es igual a pi por el radio a en paréntesis al cuadrado pero el radio es x cuadrada por lo tanto me queda pius x x cuadrada elevado al cuadrado ahora ya tenemos el área de esta superficie pero como dijimos que íbamos a sacar el volumen de este disco pues claro multiplicando esta área por tx porque dx es el ancho de esta moneda de este disco por lo tanto el volumen de este disco que yo tengo aquí va a ser igual entonces a quién el volumen entonces va a ser igual al área que ya saqué que multiplica al ancho pero el ancho es de x el grosor y bueno como ya sabemos la función del área entonces esto es lo mismo que pi por x l el cuadrado al cuadrado que es x elevado la cuarta por de xvii por equis elevado la cuarta por dx ahora bien date cuenta que esta expresión que tenemos aquí nos da el volumen de uno de estos discos de solamente una de estas monedas pero nosotros lo que vamos a querer es el área de este gorro enteró de este sombrero enteró de esta trompeta es como un final de la trompeta y bueno cómo vamos a sacar entonces el volumen de este sombrero de esta trompeta pues la idea es la misma la misma idea para sacar el área bajo la curva lo que voy a hacer es tomarme la suma infinita de todos estos volúmenes es decir me voy a tomar la integral la integral de piqué multiplica ax elevado la cuarta diferencial de x lo que estoy haciendo es tomando la suma de todos estos volúmenes y bueno de dónde dónde dx igual a cero ax igual a 2 y bueno lo que vamos a querer es el límite cuando dx hace muy muy pequeño es decir lo que estoy buscando es que estos volúmenes llegan más y más estrechos y en el límite voy a encontrar por fin el volumen de este gorro así que si lo que tenemos que hacer eso es integral pues vamos a hacerlo cuál es la integral de 0 a 2 de pi x cuarta de x bueno el pisha le porque es una constante y me queda la integral de 0 a 2 de x cuarta de equis pero ésta integral es muy fácil resolver la pues su anti derivada es x quinta entre 5 le sumamos 1 al exponente y lo dividimos entre ese mismo número y esto evaluado de 0 a 2 por lo tanto vamos a hacerlo me queda piqué multiplica a 2 elevado a la quinta entre 5 recuerden que primero sustituyó el valor que está arriba 2 elevado las 5 entre 5 - la evaluación en el punto de abajo es decir será la quinta entre 512 la quinta es lo mismo que 32 entonces me va a quedar piqué multiplica a treinta y dos quintos 1º - pues 00 la quinta cero entonces me queda simple y sencillamente 0 y entonces ya obtuve el resultado el resultado del volumen en de esta trompeta es 32 pi entre 5 y con esto en cuenta el volumen de este gorro