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Transcripción del video

les presento a una parte de la gráfica que es igual a x cuadrada y lo que vamos a usar es nuestros poderes que tenemos de integral definida para encontrar los valores del área bajo la curva así que recordemos qué va a pasar cuando nosotros tomábamos la expresión de la integral definida de 0 a 2 de x cuadrada de x que es lo que representaba entonces vamos a buscar estos puntos x igual a 0 es este de aquí y vamos a suponer que este que estoy dibujando es x igual a 2 y bueno lo que hacíamos es que para cada x encontrábamos un pequeño de x alrededor de ella este de aquí es nuestro pequeño de x y bueno a este de x lo multiplicamos por nuestra función es decir por x cuadrada por lo tanto lo que nos fijábamos era en este rectángulo de aquí y sacábamos su área lo único que estamos haciendo es multiplicando la base que es de x por la altura que es la función en este caso x cuadrado y bueno al final lo que decíamos es que la integral definida dada por la expresión que tenemos aquí arriba tomábamos la suma de todos estos rectángulos para todo el eje x en el intervalo de 0 a 2 y después si se acuerdan lo que hacíamos era tomar el límite de estos rectángulos cuando de x se sea muy muy muy pequeño tan pequeño que decíamos que era infinitamente pequeño casi casi cercano a cero y eso nos daba la idea de poder decir que íbamos a tomar la suma de todos estos rectángulos pequeños entonces pues ya te puedes imaginar que si nosotros hacemos a de x pequeño pequeño pequeño entonces estos rectángulos se vuelven delgados delgados delgados y por lo tanto tenemos una mejor mejor mejor aproximación una mejor aproximación del área bajo la curva que estamos buscando ahora lo que quiero en este vídeo no es mostrarles el área bajo la curva sino lo que voy a querer es rodar esta función alrededor del eje de las equis y para esto voy a necesitar todos tus poderes de visualización para que nosotros entendamos qué es lo que está sucediendo bueno pues nosotros giramos esta función alrededor del eje de las x entonces va a tener una base muy parecida a ésta imagínate la y bueno también tengo que dibujar la función pero en esta ocasión hacia abajo y ya lo tenemos aquí esto es muy parecido al chocolate 15 es tal vez oa las piezas que tenemos en algunos juegos de mesa o tal vez algún tipo de gorro extraño o algo así como los gorros de fiesta pero aplastados y bueno ahora le voy a dar un poco de volumen esto ya le da más proporción y la verdad estoy intentando que mi dibujo me quede lo mejor posible para que tú me entiendas y visualices qué es lo que está pasando me tienes que echar porras para que tú lo veas muy bien voy a intentar dibujarlo en varios ángulos así que vamos a dibujar otro tipo de ángulo y para que sea mucho más obvio que si se ve como un sombrero imagínate qué bueno esta es la base del sombrero y todo esto es el cuerpo del sombrero y si lo viéramos desde esta perspectiva no podríamos ver la parte de atrás pero tenemos la parte de enfrente y bueno si lo que quieres es orientarte un poco acerca de dónde estamos parados en esta función pues este va a ser nuestro eje de las 10 y entonces este otro el que está adentro del sombrero es el eje de las equis para que no te pierdas imagínate que este sombrero es transparente y si fuera transparente entonces esta sería la parte de atrás de este sombrero y bueno si fuera transparente entonces podríamos ver que la base se intersecta tarde o temprano con el eje de las x aquí y perfecto ya tenemos otra perspectiva de este mismo sombrero ya lo puedes ver desde dos tipos de perspectivas distintas la pregunta importante de este vídeo es cómo encontramos el volumen de este sombrero para esto me voy a basar también en la idea de los rectángulos pero en esta ocasión en lugar de fijarme en lugar de pensar en el área bajo la curva voy a pensar que sus rectángulos lo que van a hacer es girar también alrededor del eje de las x que es lo que nos quedaría si esto pasa pues no nos queda más que hacerlo entonces a ver tomemos a uno de esos rectángulos supongamos que tenemos a este de x que tengo aquí y lo que voy a hacer es girar lo alrededor del eje de las equis y con esto me va a quedar un tipo de moneda o un tipo de disco de hecho se llaman discos aquí en nuestro dibujo me quedaría algo así y bueno este disco tiene un grosor de de x ahora la pregunta correcta es cómo vamos a encontrar el volumen de este disco y bueno para esto déjame dibujarte lo aquí es muy importante que siempre estemos trabajando con la visualización este de aquí va a ser mi disco se va a ver más o menos así está que estoy dibujando es la cara de este disco este es su centro y lo último que estoy dibujando es su grosor su grosor que es de x y bueno para sacar el área de este disco lo que voy a pensar es en sacar el área de un cilindro porque este disco al final es un cilindro y si tú recuerdas cómo sacar el volumen de un prisma me vas a decir que es el grosor por el área de la cara ahora la pregunta es cómo sacamos el área de esta cara que yo tengo aquí bueno pues es el área de un círculo muy bien y como sacamos el área de un círculo bueno el área de un círculo es pi por radio al cuadrado ahora pregunte quién es el radio de este círculo o de este disco pero el radio de este disco no es ni más ni menos que quien que la función porque era el alto del rectángulo es decir el radio es la función que nosotros tenemos que en este caso es x cuadrado y entonces ya podemos sacar la fórmula del área el área es igual a pi por el radio en paréntesis al cuadrado pero el radio es x cuadrada por lo tanto me queda pi por equis cuadrada elevado al cuadrado ahora ya tenemos el área de esta superficie pero como dijimos que íbamos a sacar el volumen de este disco pues claro multiplicando esta área por de x porque de x es el ancho de esta moneda de este disco por lo tanto el volumen de este disco que yo tengo aquí va a ser igual entonces a quien el volumen entonces va a ser igual al área que ya saqué que multiplica al ancho pero el ancho es d el grosor y bueno como ya sabemos la función del área entonces esto es lo mismo que pi por equis elevado al cuadrado al cuadrado que es x elevado a la cuarta por de x por x elevado a la cuarta por de x ahora bien date cuenta que esta expresión que tenemos aquí nos da el volumen de uno de estos discos de solamente una de estas monedas pero nosotros lo que vamos a querer es el área de este gorro entero de este sombrero entero o de esta trompeta es como un final de una trompeta y bueno como vamos a sacar entonces el volumen de este sombrero de esta trompeta pues la idea es la misma la misma idea para sacar el área bajo la curva lo que voy a hacer es tomarme la suma infinita de todos estos volúmenes es decir me voy a tomar la integral la integral de pi que multiplica a x elevado a la cuarta diferencial de x lo que estoy haciendo es tomando la suma de todos estos volúmenes y bueno de dónde a dónde x 0 a x igual a 2 y bueno lo que vamos a querer es el límite cuando te x hace muy muy pequeño es decir lo que estoy buscando es que estos volúmenes se hagan más y más estrechos y en el límite voy a encontrar por fin el volumen de este gorro así que si lo que tenemos que hacer es resolver esta integral pues vamos a hacerlo cuál es la integral de 0 a2dp x cuarta de x bueno el pi sale porque es una constante y me queda la integral de 0 a 2 de x 4a de x pero esta integral es muy fácil resolverla pues su anti derivada es x quinta entre 5 le sumamos 1 al exponente y lo dividimos entre ese mismo número y esto evaluado de 0 a 2 por lo tanto vamos a hacerlo me queda pi que multiplica a 2 elevado a la quinta entre 5 recuerden que primero sustituyó el valor que está arriba 2 elevado las 5 entre 5 - la evaluación en el punto de abajo es decir 0 a la quinta entre 5 2 a la quinta es lo mismo que 32 entonces me va a quedar pi que multiplica a treinta y dos quintos primero pues 000 entonces me queda simple y sencillamente cero y entonces ya obtuve el resultado el resultado del volumen de esta trompeta es 32 pi entre 5 y con esto encuentro el volumen de este gorro