If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:54

Transcripción del video

en esta ocasión también voy a trabajar con la función y es igual a la raíz de x y también la voy a girar pero en esta ocasión no la voy a girar ni alrededor del eje de las x ni alrededor del eje de las 10 la voy a girar alrededor de otra recta que recta me voy a tomar en esta ocasión vamos a poner esta esta recta que va a ser igual a 1 así que déjenme dibujarla para que sepan de qué recta estoy hablando esta va a ser una recta de igual a 1 y lo que voy a hacer es girar mi función que es igual a la raíz de x alrededor de esta recta y con ello voy a crear un sólido de revolución el cual va a tener un cierto volumen que voy a querer calcular en esta ocasión y bueno entre qué valores no voy a querer tomar este sólido de revolución voy a suponer que me voy a tomar este valor entre la intersección y x igual a 4 este de aquí va a ser x igual a 4 y por lo tanto lo primero que tenemos que hacer es dibujar lo vamos a intentar visualizar un poco qué es lo que está pasando por lo tanto esta va a ser mi base esta que estoy dibujando aquí y aquí claramente se nota que el eje de rotación es la recta y que igual y también voy a dibujar la otra parte de la parte de abajo y ahora voy a darle un poco de volumen para que se vea mucho más real es un estilo trofeo en esta ocasión o algo parecido se dan cuenta está su base y bueno ahora la pregunta es cuál es el volumen de este sólido de revolución que tengo aquí para obtenerlo me voy a basar otra vez en el método de los discos pero en esta ocasión voy a hacer un método de los discos el cual va a ser ligeramente distinto a lo que hemos visto las veces anteriores entonces lo primero que voy a hacer es dibujar aquí mi disco entonces voy a suponer que esta es la base de mi disco la cara de mi disco la cara en moneda y tiene también un cierto grosor que va a ser este de aquí recuerden que lo que quiero es que el grosor se haga lo más pequeño posible para que al final podamos construir la suma de todos los discos en este intervalo entonces para calcular yo el volumen de este disco lo primero que necesito es calcular el área de su base y para esto pues el área del círculo por lo que necesitamos sacar el área de este círculo que tenemos aquí y bueno el área se saca multiplicando a pi por el radio al cuadrado entonces va a ser pi que multiplica el radio pero en esta ocasión quién va a ser el radio al cual vamos a elevar al cuadrado bueno pues si te das cuenta el radio es la distancia que hay entre la función y es igual a la raíz de equis y la función que igual a 1 es decir la diferencia lo que me voy a tomar es la diferencia entre la función y igual a la raíz de x menos la función e igual a 1 es esta distancia que hay de aquí a camps y con ello ya obtuve yo el radio por lo tanto déjame escribirlo y que multiplica a la raíz de x que es la primera función entonces es la función superior menos la función inferior ya esto hay que quitarle la función inferior que es igual a 1 o dicho de otra manera la recta que es mi eje de rotación y bueno ya con esto tengo el área de esta circunferencia que yo tengo aquí si yo lo que quiero es calcular el volumen del sólido de revolución que les llevo contando durante todo este vídeo a pues a esta área que acabamos de sacar tenemos que multiplicar la por el grosor pero el grosor en este caso es de equis y por lo tanto todo esto hay que multiplicarlo por la diferencia del de x por de x y después tomar la integral es decir la suma de todos los volúmenes de todos los discos que tenemos aquí y desde donde a donde pues primero que se carga intersección es decir cuando x vale 1 e igual a 1 es lo mismo que igual a la raíz de x hasta donde hasta el valor que habíamos dicho habíamos dicho que íbamos a tomar el valor de x igual a 4 y hoy estamos tomando valores en el eje de las x este es nuestro eje de las x entonces es desde x igual a uno hasta x igual a 4 y para no confundirnos vamos a poner más grueso el eje de las x muy bien entonces realmente lo que estoy haciendo es sacar el sólido de revolución que me queda al girar esta área alrededor de la recta igual a uno son los mismos problemas por lo tanto tengo esta integral desde uno hasta x igual a 4 y que creen ya solamente que resolver esta integral para encontrar nuestro volumen del sueldo de revolución que estamos buscando y ya no está tan difícil así que vamos a resolverlo el volumen es igual a la integral de uno a uno de uno a cuatro depp y voy a sacar pi porque es una constante entonces el valor de pime queda fuera y adentro tengo el raíz de x menos uno al cuadrado lo cual es un binomio el cuadrado perfecto también lo podemos ver o lo podemos hacer como una multiplicación de dos binomios es decir la raíz de x menos 1 que multiplica a la raíz de x menos uno entonces raíz de x por reid de x x en raíz raíz de x menos uno es menor raíz de x menos 1 por la raíz de x es menor raíz de x también y menos 1 por menos 1 me da 1 positivo entonces tengo x y toda esta expresión la podemos simplificar un poco me va a quedar la integral de x menos dos veces la raíz de x desde cuenta que menos la raíz de x menos la raíz de x pues es dos veces la raíz de x ya esto le sumamos 1 y todo esto hay que multiplicarlo por de x ok y entonces vamos a encontrar esta integral ya está muy sencillo a esto esto es lo mismo que piqué multiplica y ahora sí voy a buscar la santidad derivadas dejemos el factor izado y busquemos la derivada de quien primero la derivada de x es la anti derivada que más no sabemos si es x cuadrado entre 2 después la anti derivada de dos veces la raíz de x bueno el 2 es constante se queda fuera y cuál es el anti derivado de la raíz pues esto es lo mismo que poner x a la un medio por lo tanto le sumamos un medio me queda x a la tres medios y dividido todo esto entre tres medios también entonces esto hay que dividirlo entre tres medios o dicho de otra manera mejor o escribir de esta forma esto lo mismo que dos que multiplica dos tercios que es el inverso de tres medios que multiplica a x elevado a la tres medios ya tengo la primera anti derivada la segunda anti derivada este era mi constante que yo tenía aquí que inclusive sería bueno probarlo si yo bajo el 3 medio se cancela con el dos tercios y le bajó uno al exponente y me va a quedar un medio por lo tanto esta expresión al derivar la me da la expresión de arriba y es mi anti derivada y después tengo que encuentra el anti derivada de uno de x que es x y todo esto evaluado de 1 a 4 de 1 a 4 muy bien y entonces ahora voy a dejar el [ __ ] de vía fuera y vamos a hacer la evaluación lo primero que tengo que hacer es la evaluación en el término de arriba por lo tanto voy a sustituir en lugar de x por 4 y me queda 4 elevado al cuadrado menos 2 menos dos por dos tercios es lo mismo que 4 entonces es menos cuatro tercios y después me queda 4 elevado a la 3 medios si yo le saco la raíz a 4 es lo mismo que 2 y 2 elevado al cubo pues es 8 por lo tanto aquí me queda esto que multiplica 8 más 4 y ya con esto termine la evaluación en el término de arriba ahora vamos a fijarnos en el índice inferior es decir me tengo que tomar la diferencia de un medio y después tengo menos 2 que multiplican a lo mejor de gm para no hacerme bolas y no equivocarme como siempre ponerlo con un paréntesis es todo esto menos todo lo que está aquí entonces ahora si uno elevado al cuadrado entre 2 es un medio positivo porque aquí está en medio el signo de menos por lo tanto no me voy a complicar la vida es el índice superior la evaluación en el índice superior menos de evaluación en el índice inferior por lo tanto ahora lo que voy a hacer es sustituir todo por 1 y me queda un medio menos cuatro tercios dos por dos tercios son cuatro tercios y uno a lo que sea pues es 1 ya esto hay que sumarle uno y ahora sí lo segundo que voy a hacer es a simplificar un poco toda esta expresión a hacer toda la talacha que tengo encima 4 elevado al cuadrado entre 2 es lo mismo que 16 entre 2 que es 8 después nos queda cuatro tercios que multiplica a 8 pues es lo mismo que 8 por 4 32 entre 3 es decir treinta y dos tercios y después a esto tengo que sumar cuatro y ahora sí voy a multiplicar por menos menos un medio más cuatro tercios y después menos uno menos por más uno es lo mismo que menos uno y ahora voy a simplificar todo esto si se dan cuenta el mínimo común múltiplo entre 32 y 36 por lo tanto voy a sacar el mínimo común múltiplo o dicho de otra manera el común denominador y el común denominador es 6 y dice 6 entre unas 6 por 8 48 menos 6 entre 32 por 32 pues es 64 entonces estoy tengo que quitar 64 6 entre 16 por 4 24 6 entre 2 estrés por un es menos 3 y después 6 entre 3 es 2 x 4 es 8 entonces a esto y sumar 8 y después menos 1 es lo mismo que menos 6 sextos entonces me queda menos 6 y ahora pues ya me queda solamente que hacer la operación de acá arriba y dice 48 menos 64 pues es lo mismo que 64 menos 48 que es 16 pero con signo negativo entonces de estos dos me queda 16 negativo ya esto hay que sumarle 24 es decir 24 16 es lo mismo que 88 positivo y el 8 positivo hay que quitarle 3 lo cual me da 5 y después 58 es 13 y 13 6 617 7 entonces todo esto me da de resultados 7 y sextos ya están multiplicando por fin entonces 7 peas estos perfectos 7 pi sextos es mi resultado voy a ver si no me equivoqué 48 64 6 16 negativo más 24 es 8 8 y 8 16 menos seis es 10 ok sí perfecto 7 pi sextos y bueno ya con esto tengo por fin el volumen de éste paraboloide peculiar