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Transcripción del video

supongamos que un objeto se mueve a razón de 5 metros por segundo este su velocidad en una dimensión cuando es positiva el objeto se mueve hacia la derecha y cuando es negativa el objeto se mueve hacia la izquierda y supongamos que nos interesa cuál es el cambio el cambio en la distancia sobre esta delta significa cambio el cambio en la distancia sobre el cambio en el tiempo durante cuatro segundos digamos desde 'the wall' acero ate igual a 4 segundos ese es el cambio en el tiempo es el intervalo de cuatro segundos que nos interesa bien una manera de ver esto es una razón una razón de cambio por definición está dada por el cambio en la cantidad que nos interesa en este caso la distancia sobre el cambio en otra cantidad que nos interesa que en este caso es el tiempo o también esto podemos expresar lo como si multiplicamos ambos lados por el cambio en el tiempo tenemos que el cambio la distancia es igual a la razón de cambio x el cambio en el tiempo esto se asemeja a lo que aprendimos en física elemental que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo lo hemos obtenido a partir de la definición de razón de cambio es decir el cambio es una variable con respecto al cambio en otra variable así es que si aplicamos esto a nuestros datos donde nuestra razón de cambio es 5 metros por segundo el cambio en el tiempo es igual a 4 segundos obtenemos que esto es 5 x 4 20 esto es igual a 20 déjame ponerlo con el color adecuado el color que tengo para el cambio de distancia esto es igual a 20 y las unidades son segundos se cancela con segundos 20 metros durante esos cuatro segundos el objeto avanzó 20 metros hasta aquí no hay nada nuevo no hay nada extraordinario lo que quiero hacer ahora es relacionar esto con el área bajo la curva de la razón de cambio durante ese lapso de tiempo hagamos una gráfica este de aquí es el eje de la razón de cambio y este de aquí es el eje del tiempo el tiempo está en segundo la razón de cambio está en metros segundo pongamos ahora la escala 1 2 3 4 5 con eso hasta ahora la escala para r 1 2 3 4 5 y la razón de cambio que estamos utilizando para este ejemplo es un valor constante de cinco metros por segundo es un valor constante 5 metros por segundo que corresponde a rt y qué es lo que acabamos de hacer aquí hemos multiplicado el cambio en el tiempo por la tasa de cambio constante hemos multiplicado el cambio en el tiempo que aquí lo tenemos en este eje el cambio en el tiempo correspondiente a cuatro segundos que hemos multiplicado por la tasa de cambio constante luego os x esta tasa que tenemos aquí pero al multiplicar la base por la altura este rectángulo que obtengo y obtener el área voy a obtener esta área que está debajo de la gráfica de la razón de cambio esa área hemos calculado que es igual a 20 horas y checamos las unidades obviamente estamos acostumbrados a que si es un área deben de ser unidades cuadradas usualmente tenemos metros por metros o millas por millas o pies por pies con lo cual tendríamos diez cuadrados o metros cuadrados o millas cuadradas pero si quitamos las unidades de los ejes tenemos metros sobre segundo multiplicados por segundos lo cual nos da metros lo importante aquí es que hemos obtenido que el valor de esta área es 20 y vemos entonces que para este ejemplo simple el área bajo la gráfica de la función de razón de cambio es igual al cambio neto en la distancia durante ese periodo de tiempo donde la razón de cambio que estamos tomando en este caso es de la distancia con respecto al tiempo pero ahora profundicemos en esto veamos si podemos captar más el aspecto intuitivo de este concepto vamos a tomar otra función de razón de cambio supongamos ahora que la razón de cambio para poner también en amarillo supongamos que re dt que la razón de cambio la velocidad con respecto al tiempo está dada por digamos un metro por segundo cuando te está entre 0 cuando te es mayor o igual a cero y te menor o igual a 2 segundos obviamente aquí el tiempo sigue estando en segundos r 32 metros por segundo cuando te es mayor que dos segundos como la gráfica de esto de hecho trata de calcular cuál sería el cambio total en la distancia digamos durante los primeros cinco segundos así es que ahora el cambio la distancia no es durante los primeros cuatro segundos sino durante los primeros cinco segundos bien hagamos la gráfica hagamos la gráfica aquí aquí tenemos entonces sería un metro por segundo este sería dos metros por segundo esto está entonces en metros por segundo y es el eje de la razón de cambio y este de aquí este de aquí va a ser el eje del tiempo esté aquí va a ser el eje del tiempo aquí tenemos uno obviamente no está en la misma escala 345 ahora como se ve en la gráfica de la razón de cambio la razón de cambio es un metro por segundo para t entre cero y dos segundos incluyendo dos segundos he aquí la razón brinca lo cual no es posible en realidad pues no estaríamos una aceleración infinita que se podría dar con una fuerza también infinita o con una masa muy pequeña en fin no quiero entrar en detalles pero este gringo que se da aquí es imposible en el mundo físico tal como lo conocemos un incremento instantáneo en la velocidad como el que se presenta aquí en fin continuamos con esto así es que después de dos segundos tenemos una razón de cambio constante una razón de cambio constante de dos metros por segundo ahora bien cuál es el cambio total en la distancia aquí durante los primeros cinco segundos aquí nos interesa entonces estos primeros cinco segundos bien separemos el problema en dos partes durante los primeros dos segundos durante los primeros dos segundos tenemos una razón de cambio constante de un metro por segundo así es que dos segundos por un metro por segundo eso va a ser igual a una distancia total de 2 metros así es que esta distancia va a ser mejor voy a usar el color naranja esta instancia a ser dos metros y veamos ahora la segunda parte el cambio aquí en el tiempo es de 3 segundos lo cual vamos a multiplicar por el valor constante de dos metros por segundo eso nos da igual a 6 si vemos las unidades en ambos casos vamos a multiplicar segundos por metros por segundo lo cual nos da metros así es que esto es 2 + 6 metros 8 metros espero que con esto ya puedas apreciar de manera intuitiva que el área bajo la curva de la razón de cambio se va a proporcionar el cambio total en la variable dependiente a la cual se refiere la razón de cambio en este caso nuestra razón de cambiar una velocidad o una razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo el área de esta razón de cambio en la velocidad de la razón de cambio la distancia con respecto al tiempo durante un cierto intervalo de tiempo esa área nos va a proporcionar el cambio neto en la distancia