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Curso: Cálculo integral > Unidad 3

Lección 2: Movimiento en línea recta
Matemáticas
Cálculo integral
Aplicaciones de las integrales
Movimiento en línea recta
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Problemas de movimiento (con integrales definidas)

Google Classroom
Las integrales definidas son comúnmente usadas para resolver problemas de movimiento, por ejemplo, al razonar sobre la posición de un objeto en movimiento dada cierta información sobre su velocidad. Aprende cómo se hace esto y sobre la diferencia crucial entre velocidad y rapidez.
Los problemas de movimiento son muy comunes en el cálculo. En cálculo diferencial, razonamos sobre la velocidad de un objeto dada su función de posición. En cálculo integral, vamos en la dirección opuesta: dada la función de velocidad de un objeto en movimiento, razonamos sobre su posición o sobre el cambio en su posición.

Pensar sobre velocidad, rapidez e integrales definidas

Digamos que una partícula se mueve en una línea recta con velocidad v(t)=5−t metros por segundo, donde t es el tiempo en segundos.
Se gráfica la función v. El eje horizontal está representado por t. t va de 0 a 10. La gráfica es una recta. La recta comienza en (0, 5), interseca el eje t en (5, 0) y termina en el cuarto cuadrante.
Que la velocidad sea positiva significa que la partícula se mueve hacia adelante sobre la recta, y que la velocidad sea negativa significa que la velocidad se mueve hacia atrás.
Digamos que se nos pregunta por el desplazamiento de la partícula (es decir, el cambio en su posición) entre t=0 segundos y t=10 segundos. Como la velocidad es la razón de cambio de la posición de la partícula, cualquier cambio en la posición de la partícula está dado por una integral definida.
Específicamente, buscamos ∫010v(t)dt.
Se muestra la gráfica anterior de la función v. El área entre la gráfica y el eje t está sombreada de t = 0 a t = 10. Se compone de dos áreas separadas, a la izquierda y a la derecha de t = 5.
Curiosamente, el desplazamiento es ∫010v(t)dt=0 metros. (Puedes ver cómo las dos áreas en la gráfica son iguales y de signos opuestos).
Que el desplazamiento sea 0 significa que la partícula ocupa la misma posición en los tiempos t=0 y t=10 segundos. Esto tiene sentido cuando ves que la partícula primero se mueve hacia adelante y después hacia atrás, regresando a su posición inicial.
Un punto que representa una partícula se grafica en el extremo izquierdo de una recta horizontal, donde t = 0 y v = 5. La partícula se mueve a un punto máximo a la derecha, luego de regreso a la izquierda hasta el inicio. A medida que se mueve a la derecha, t aumenta a 5 y v disminuye a 0. A medida que se mueve de regreso hacia la izquierda, t aumenta a 10 y v disminuye a menos 5.
Esta es una simulación del movimiento de la partícula de T=0 segundos a t=10 segundos (creada con Geogebra).
Sin embargo, la partícula sí se movió. Digamos que queremos conocer la distancia total que recorrió la partícula, aun cuando terminó en el mismo lugar. ¿Nos pueden ayudar las integrales definidas?
Sí, sí pueden. Para lograrlo, usaremos una manipulación ingeniosa. En vez de trabajar con la velocidad de la partícula, trabajaremos con su rapidez |v| (es decir, el valor absoluto de v).
Se muestra la gráfica anterior de la función v. Se grafica una segunda función: el valor absoluto de v. La gráfica consta de dos segmentos de recta. El primero se mueve hacia abajo de (0, 5) a (5, 0). El segundo se mueve hacia arriba de (5, 0) a (10, 5).
La rapidez describe qué tan rápido vamos, mientras que la velocidad describe qué tan rápido y en qué dirección. Cuando el movimiento es sobre una recta, la velocidad puede ser negativa, pero la rapidez siempre es positiva (o cero). Así que la rapidez es el valor absoluto de la velocidad.
Ahora que conocemos la rapidez de la partícula en todo momento, podemos encontrar la distancia total que recorrió al calcular la integral definida ∫010|v(t)|dt.
Se muestra la gráfica anterior de la función del valor absoluto de v. El área entre la gráfica y el eje t está sombreada de t = 0 a t = 10. Esta consiste en dos áreas separadas, a la izquierda y a la derecha de t = 5.
Esta vez el resultado es el valor positivo "25 metros".

Recuerda: velocidad vs. rapidez

La velocidad es la razón de cambio en la posición, por lo que su integral definida nos da el desplazamiento de un objeto en movimiento.
La rapidez es la razón de cambio de la distancia total, por lo que su integral definida nos da la distancia total recorrida, sin importar la posición.
Problema 1
Alexey recibió el siguiente problema:
Una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t)=−t2+8 metros por segundo, donde t es el tiempo en segundos. En t=2, la distancia de la partícula al punto inicial era de 5 metros. ¿Cuál es la distancia total que recorrió la partícula entre t=2 y t=6 segundos?
¿Cuál expresión debe usar Alexey para resolver el problema?
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
Madelyn recibió el siguiente problema:
Una partícula se mueve en línea recta con una velocidad de v(t) metros por segundo (graficada a continuación), donde t es el tiempo en segundos. En t=1, la distancia de la partícula al punto inicial era de 2 metros en la dirección positiva. ¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t=1 y t=6 segundos?
¿Cuál expresión debe usar Madelyn para resolver el problema?
Escoge 1 respuesta:

Encontrar la posición real por medio de integrales definidas y condiciones iniciales

En algunos problemas de movimiento debemos encontrar la posición real de la partícula en cierto instante de tiempo. Recuerda que una integral definida solo nos puede dar el cambio en la posición de la partícula. Para encontrar su posición real, necesitamos usar sus condiciones iniciales.
Problema 3
Divya recibió el siguiente problema:
Una partícula se mueve en línea recta con velocidad v(t)=3t−1 metros por segundo, donde t es el tiempo en segundos. En t=2, la distancia de la partícula al punto de partida era de 8 metros en la dirección positiva. ¿Cuál es la posición de la partícula en t=7 segundos?
¿Cuál expresión debe usar Divya para resolver el problema?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.

Resumen: tres posibles preguntas en problemas de movimiento que involucran integrales definidas

Los problemas de movimiento requieren integrales definidas cuando se nos da la velocidad de un objeto en movimiento y se nos pide su posición. Hay tres posibles clases de problemas:
ClasePregunta típicaExpresión apropiada
Desplazamiento"¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre... y...?" o "¿Cuál es el cambio en la posición de la partícula entre... y...?"∫abv(t)dt
Distancia total"¿Cuál es la distancia que recorre la partícula entre... y...?"∫ab∣v(t)∣dt
Posición real"¿Cuál es la posición de la partícula en...?"C+∫abv(t)dt, donde C es la condición inicial.

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