Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:32

Ejemplo resuelto: problemas de movimiento (integrales definidas)

Transcripción del video

revisemos un poco lo que hemos aprendido de cálculo diferencial supongamos que tenemos la función ese que nos da en función del tiempo la posición de una partícula en una dimensión si tomamos la derivada con respecto al tiempo si tomamos la derivada de ese con respecto al tiempo que obtenemos bueno obtenemos por supuesto la derivada de ese con respecto al tiempo que la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo que también se designa como la velocidad así es que esto es la velocidad que también es una función que depende del tiempo ahora sí derivamos nuevamente con respecto al tiempo y de ahí vamos con respecto al tiempo la velocidad que estaríamos hecho tomando la segunda derivada con respecto al tiempo de la posición que es la primera del iva con respecto al tiempo de la velocidad obtendríamos entonces debe en dt que es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo esto es la razón de cambio en la velocidad con respecto al tiempo lo cual se denomina aceleración esto es la aceleración que también es una función que depende del tiempo así es que empezamos con la posición como una función del tiempo tomamos la derivada de la posición para obtener la velocidad tomamos la derivada de la velocidad para obtener la aceleración pero también podríamos ir en sentido contrario si conocemos la aceleración podríamos tomar la anti derivada de la aceleración podríamos tomar la anti derivada de esta aceleración y que obtendríamos obtendríamos bueno déjame mejor escribirlo de la siguiente manera voy a usar el símbolo de la integral indefinidad así es que tomó la integral de la aceleración con respecto al tiempo y esto me va a dar una cierta expresión más una constante se es decir voy a poder determinar la forma general de la velocidad puede determinar la velocidad más una constante que va a poder evaluar con un valor precisó de la velocidad para cierto tiempo específico ahora si yo tomo la anti derivada de la velocidad es decir ahora integró la velocidad con respecto al tiempo integró la velocidad con respecto al tiempo iba a obtener lo mismo una expresión general más una constante sé que me va a determinar entonces la posición la posición sdt más y esta constante que va a poder determinar al conocer un valor precisó a la posición para un cierto tiempo habiendo revisado esto y que también hemos podido ponerlo en términos de anti deriva de es decir hicimos el planteamiento para derivadas pero también llegamos a hacer un planteamiento para anti derivadas hagamos un problema específico supongamos que sabemos que la aceleración de una partícula como función del tiempo es igual a 1 es decir nuestro objeto está acelerando de manera constante a una unidad de digamos vamos a ponerlo en términos de metros y segundos así es que esto va a ser un metro por segundo cuadrado va a ser la aceleración en función del tiempo supongamos que no sabemos una expresión para la velocidad pero sabemos la velocidad a un tiempo específico y tampoco conocemos una expresión para la posición pero sabemos la posición a un tiempo específico supongamos entonces que la velocidad a los tres segundos es de -3 esto sería metros por segundo vamos a poner las unidades aquí esto sería entonces un metro por segundo cuadrado sería la celebración la velocidad es menos tres metros por segundo y suponemos que la posición la posición del objeto a los dos segundos es igual a menos 10 metros estamos en una dimensión esto quiere decir que el objeto se encuentra a 10 unidades a la izquierda del origen ahora dada esta información que tenemos y el desarrollo que hemos hecho acá arriba podemos obtener una expresión para la velocidad con función de tiempo no tan sólo la velocidad en un tiempo preciso sino una expresión para velocidad con función de tiempo y también una expresión para la posición con función de tiempo que invitó a que le pongas pausa el video intentes hacer esto por tu cuenta veámoslo entonces sabemos que la velocidad como función del tiempo va a ser la anti derivada de la aceleración con función de tiempo la anti derivada de 1 con respecto al tiempo y esto va a ser igual a 'the más una constante sé que ahora podemos encontrar el valor de la constante pues sabemos que ve de tres es igual a menos tres hagamos eso por acá vez de tres es igual en vez de te vamos a sustituir el valor de 3 de tres igual a tres más se lo que hemos hecho es que en vez de te hemos sustituido el valor de 3 hay que ponerlo con otro color para que quede más claro aquí tengo el 3 que es el valor de t este tren no es sustituido aquí y esto va a ser igual a menos tres también lo va a poner con otro color - 3 éste es igual a menos tres ya podemos despejar sede aquí despejamos se dé esta ecuación que tenemos aquí estamos 3 ambos lados de la igualdad para obtener entonces que se es igual a menos seis y ya tenemos la expresión exacta para la velocidad como función del tiempo vamos a ponerla por acá bt es igual a pp más la constante más -6 de -6 y podemos verificar esto la deriva debe con respecto al tiempo es igual a 1 y de 3 es igual a 3 - seis que es efectivamente menos tres ya tenemos entonces la velocidad en función del tiempo hagamos ahora lo mismo para encontrar la posición como función del tiempo sabemos que la posición es la anti derivada de la función de velocidad escribamos esto la posición con función del tiempo es la anti derivada de la velocidad con respecto al tiempo esto es la anti derivada de té -6 dt y esto es igual la anti derivada de té este cuadras sobre dos eso ya lo sabemos así es que esto es igual ate cuadrada sobre 2 - la anti derivada de seis que es 6 t y por supuesto también hay que sumarle aquí una constante de integración más se así es que estoy aquí es igual a st esta es la expresión para st vamos a determinar el valor de la constante usando la información que tenemos aquí sabemos que cuando tess igualados la posición es menos 10 vamos a sustituir esa información en la expresión de st así que ese dedos es igual a 2 al cuadrado sobre 22 al cuadrado es 4 sobre dos esto es igual a 2 - 6 por 2 que es 12 más se y esto es igual al valor de ese 2 que es menos 10 vamos a agrupar términos semejantes 2 - doce menos diez esto nos queda entonces -10 maze que es igual a menos 10 sumamos 10 ambos lados y obtenemos que se es igual a cero y ya hemos obtenido la posición la constante se es igual a cero así es que la posición como función del tiempo nos queda de cuadrada sobre 2 - 6 t y podemos verificar esto cuando te es igual a 22 al cuadrado es 4 sobre 262 -12 2 - 2 es igual a menos 10 y derivamos esto obtenemos de -6 y podemos ver como ya lo hicimos kebede 3 es igual a menos tres y al tomar la diva aquí debe de obtener hemos la celebración que es igual a 1 en fin espero que hayas disfrutado de este vídeo