Área entre una curva y el eje x: área negativa

aquí tenemos la gráfica de la curva de igual a cruce no de equis y lo que queremos hacer es determinar el área entre la curva igual a kossen de x de la curva blanca y el eje x para varios intervalos vamos a empezar con este de acá que va de 0 a medios entonces queremos determinar esta área que estoy sombreando en azul va cómo le hacemos pues tenemos ya un simbolito que lo denota la integral de 0 a medios y medios de coseno jose no de x de x recuerda que esto lo que nos quiere decir es que estamos haciendo una suma de una infinidad de rectángulos por ahí podemos imaginarnos los una infinidad de rectángulos que son infinitamente flacos y eso justo nos va a dar el área es un límite de una aproximación de riman bueno como le vamos a hacer para encontrar el valor de esta integral pues vamos a utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo y para eso necesitamos encontrar una anti derivada de coseno de x entonces una función que derivada de echo seno de ellos bueno pues lo que sabemos lo que sabemos es que la derivada con respecto a x de seno de x de seno de x es igual a coseno de x entonces seno de x es una de las anti derivadas de coseno de x coseno de que tiene más anti derivadas de hecho se hacen de x le sumamos cualquier constante si derivamos con respecto a x seno de x más cualquier constante nos sigue quedando coseno de x porque la derivada de cualquier constante ya sea 7 o 2 mil o un millón o cualquier número loco la derivada de cualquier constante de cero así que esto sería coseno de x pero vaya vas a encontrar una anti derivada para realizar los cálculos si quieres piensa le porque no importa qué constante pongamos nos va a dar lo mismo pero bueno con esto en mente esto nos quedaría igual a igual a y aquí hay que ponerle el seno de x y los límites serían de 0 a y medios cuando queda la cuenta pues nos quedaría senodep y medios senodep y medios menos seno de 0 seno de cero senodep y medios es 1 voy a poner así es 1 seno de 0 es cero entonces nos quedaría igual a 1 muy bien entonces esta área que marque en azul esta área es de 1 van ahí estoy marcando el 1 bueno vamos a pasar a otro intervalo ahora vamos a pasar al intervalo que va de pi medios a tres y medios y lo voy a poner por acá nada más dejan indicar la región que nos interesa con este color rosa entonces lo que queremos ahora es calcular el área de esta región y para encontrarla necesitamos calcular la integral definida depp y medios de pi y medios a tres primeros tres pi medios otra vez de coseno de x coseno de x de x muy bien ya no bueno si voy a poner esto seno de x pero ya no voy a hacer todo esto verdad porque ya sabemos quién es una anti derivada entonces aquí nada más le pongo seno de x 19 x de 0 no aquí ya no va de 0 ver activa de pi medios y medios a tres primeros y cuánto nos quedaría esto nos quedaría igual a seno de 3 y medios tres medios menos seno de iu de medios si no recordamos cuando éste nos de tres medios podemos dibujar nuestro círculo unitario para acordarnos entrada entonces ahí están los ejes por ahí que del círculo unitario entonces 3 y medios es dar tres cuartos de vuelta llegaríamos acá seno es la altura como vamos para abajo es menos uno entonces aquí nos quedaría menos uno menos senodep y medios senodep y medios primeros destaca la altura es uno entonces es menos uno menos uno que es igual a menos dos guau quedo negativo entonces qué quería decir este menos dos en el mundo real pues no tenemos áreas negativas verdad las áreas siempre son positivas pero vamos a intentar interpretar esto en términos de algo entonces déjame poner en menudos por acá y pensemos pues ve este 2 nos indica que en valor absoluto del área en efecto vale 2 como normalmente la pensamos pero el menos el menos lo que nos indica es que el área está por debajo por debajo del eje x entonces eso está bueno verdad el signo nos va a indicar si queramos si tenemos área por arriba o si tenemos área por abajo vale entonces el 2 es el área en valor absoluto del menos es que está por abajo bueno vamos a hacer un caso más vamos a integrar ahora de 0 a 3 y medios entonces el área que nos interesa va a quedar un poco encima da pero ahora es va a ser esta área naranja con esta área vamos a integrar eso de allí entonces ahora esa área naranja va a ser la integral la integral de 0 a 3 primeros 3 y medios de coseno de xx coseno de x de x y eso es igual a pues ya no hago tanto lío nada más le voy a poner seno de tres primeros tres primeros menos seno de cero seno de tres y medios es menos uno verdad entonces esto nos quedaría igual a menos 1 - 0 o sea simplemente queda menos uno vaya entonces ahora esta área naranja dice que vale menos uno no está raro verdad porque aquí hay un área de uno en valor absoluto y aquí de dos y hay cosas arriba y abajo entonces vamos a intentar darle una interpretación a este menos uno vamos a pensarlo tantito de dónde podría venir pues ve en el área azul nos quedaba que esto media 1 de área y acá en el área rosa rosa mexicano nos quedaba que era menos 2 entonces es justo lo que está calculando este menos 1 es el área neta que queda por arriba del eje x el área por arriba la toma positiva el área por abajo la toma negativa y entonces integrar desde cero hasta tres y medios lo que está haciendo es considerar en total que tan arriba estamos del eje x vale entonces que indicaría este negativo pues este menos 1 nos diría que hay más área por abajo que por arriba de hecho que el área por abajo éste le ganen 1 al área por arriba y por eso nos queda el menos 1 vale entonces la integral de arriba nace esta cosa chistosa que considera el área neta para los de arriba con más lo de abajo con menos bueno eso es si es negativo qué pasaría si nos quedara igual a cero que nos diría una integral igual a cero pues para eso vamos a hacer un último ejemplo y ahora vamos a integrar en todo el intervalo desde 0 hasta 2 hasta 2 pi vamos a calcular la integral de 0 a 2 p2p de coseno de x de x y entonces ahora estamos calculando todo esto con todo esto con todo esto si lo pensamos tantito aquí hay un área de uno que hay un área de 1 y hay un área de dos entonces en total nos debería de dar 0 vamos a ver si en efecto si da 0 entonces nos quedaría seno de 2 pd2 pi menos seno de 0 seno de dos pies 0 senos de 000 00 y en efecto tenemos un área igual a cero este cero no quiere decir que no haya área en efecto si hay área pero el cero lo que nos dice es que el área de arriba se compensa por con el área de abajo