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Contenido principal
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Transcripción del video

tengo la función fx igual a x al cuadrado y lo que me interesa es determinar el área que queda por debajo de la curva fx y por encima del eje x entre los puntos 1 y 4 así que déjame poner aquí los ejes el eje x el eje i y aquí voy a poner la gráfica de la función la voy a poner en color blanco y quedaría como una parábola nada más voy a pintar lo que sucede aquí en el primer cuadrante claro también podríamos pintar acá lo del segundo cuadrante pero eso no nos va a interesar ahorita va y los puntos que nos interesan aquí en un extremo tenemos a el punto 1 y el otro que nos intereses acá en el punto 4 entonces queremos determinar queremos determinar el área el área de esta región de acá sale déjame lo pinto acá en se interpretarían más para arriba y queremos determinar el área de esta región sin embargo ahorita yo ya estoy cansado de las aproximaciones y lo que quiero es dar el área exacta bueno afortunadamente ya platicamos de cómo hacerlo verdad para para denotar esta área de acá lo que tenemos que hacer es escribir una integral tenemos que escribir la integral la integral de a a b pero aquí a es un ip es 4 entonces sería la integral de 1 a 4 de fx de x y la forma en la cual pensábamos esta anotación bueno al menos la forma en la cual yo lo pienso es que nos está diciendo que sumemos una infinidad de áreas de rectángulo este de x es el ancho de cada rectángulo que es un rectángulo infinitamente flaco entonces déjame poner algunos ejemplos de rectángulos por acá arriba digo no van a quedar infinitamente flacos pero es para mostrar la idea entonces ahí tendríamos algunos rectángulos y lo que va haciendo esta cosa es sumar las áreas de todos estos un área otra área otra área y esto nos recuerda muchísimo a las aproximaciones con rectángulos porque justo esta definición de integral de riman venía de aproximaciones con rectángulos verdad de sumas de riman entonces el ancho es de x y el alto el alto de cada uno de los rectángulos es f x así aquí estamos sumando una infinidad de áreas por eso la el signo de integral se parece como a una s es una s de sumar y es una suma infinita de áreas de rectángulos infinitamente flacos vale bueno por así decirlo hasta ahorita hemos usado pues pura notación verdad esta es la expresión que denota el área pero todavía no la hemos calculado para eso vamos a utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo así que déjame escribirlo por acá para acordarnos que decía y básicamente nos decía lo siguiente que si f x era la derivada de otra función efe mayúscula lo pongo efe de x es derivada de derivada de f mayúscula de x o bien también podríamos escribirlo como que fx es una anti derivada una anti derivada de fx de f de x entonces podemos determinar esta área como ya platicamos en el vídeo pasado podemos determinar el área que queremos como efe de 4 efe mayúscula la anti derivada en el extremo superior - efe de 1 - f1 evaluada en el extremo inferior bueno pues vamos a hacer esto para el caso que tenemos aquí en concreto que es f x igual x al cuadrado vamos a ver que nos queda entonces tendríamos que encontrar la integral de 1 a 4 de x cuadrada de x y para esto lo primero que tenemos que hacer es encontrar una anti derivada para x cuadrada déjame escribirlo por acá o sea así y fx es igual a x al cuadrado y tal cuadrado entonces quién sería f mayúscula de x quién sería una anti derivada bueno pues acordándonos de cómo se deriva x a alguna potencia entera pues vamos a ver qué pasa digamos derivando x q va entonces recordando las reglas y tomamos la derivada con respecto a x de x al cubo de x al cubo pues el 3 baja multiplicando nos quedaría 3 x x al cuadrado y esto se parece mucho a lo que queremos sólo que aquí hay un 3 hay un 3 que nos está estorbando que hacemos para quitarlo pues dividimos entre 3 de ambos lados dividimos entre 3 acá dividimos entre 3 acá este 3 se va con este 3 va y entonces aquí ya tenemos que un tercio de la derivada es x cuadrada o bien también podemos pensarlo como que la derivada con respecto a x de de x al cubo y entre 3 entre 3 es igual a x cuadrado si puedes realizar la derivada 3 bajas se cancela con el 3 y el exponente pasa de ser 3 hacer 2 así que esto en efecto es x al cuadrado entonces x al cubo entre 3 es una anti derivada para x cuadrada eso está súper bueno entonces esto es igual a y fíjate aquí se utilice una nota se utiliza esta anotación aquí ponemos la anti derivada entre 3 y aquí se ponemos los numeritos en donde hay que evaluar entonces arriba es 4 y abajo es un algunas personas ponen además aquí una barra vertical si ahorita yo lo voy a dejar así porque se entiende del contexto que estamos haciendo así que vamos a realizar esta evaluación para ver cuánto nos queda entonces esto de aquí es igual a entonces 4 al cubo 4x4 es 16 por 4 64 así que aquí nos quedarían déjame déjame ser más claro para ver a ver voy a utilizar el color azul del extremo de 4 entonces nos quedaría 4 al cuadrado y perdona el cubo que 64 dividido entre 3 y a eso tenemos que restar mira éste 64 tercios corresponde a estoy acá y a eso tenemos que restar la anti derivada que encontramos evaluada en 1 entonces hay que restar 1 / 3 verdad 1 al cubo es uno entre tres tercios muy bien ya nada más hay que hacer las cuentas esto de aquí queda fácil verdad 64 entre 3 - 1 entre 3 64 menos 163 y todo exterior y afortunadamente podemos simplificar un poco porque 63 dividido entre 3 es igual a 20 121 muy bien entonces con esto ya determinamos el área así que bueno no importa qué unidades teníamos acá abajo el área que queda por debajo de x cuadrada de 1 a 4 y por arriba del eje x que es 21 unidades cuadradas