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Transcripción del video

esta de aquí en la gráfica de x maye igual a 1 y supongamos que la región que se encuentra debajo de esa recta en el primer cuadrante forma la base de una figura tridimensional así es que esta región que tenemos aquí es la base de una figura tridimensional y lo que sabemos de esta figura tridimensional es que si tomamos secciones transversales que son perpendiculares al eje x secciones transversales que también podríamos decir que son paralelas a leyes supongamos que ésta es una de esas secciones transversales y sabemos que dichas secciones tiene forma de semicírculo así es que desde otra perspectiva la figura tridimensional se vería cómo esto el plan ordenado lo he puesto horizontal de tal manera que esta sección transversal cuando vemos la figura desde arriba esta sección transversal la veríamos si la figura fuera transparente la veríamos que tiene esta forma así es cómo veríamos la sección transversal desde esa perspectiva donde podemos apreciar que es un semicírculo esta sección transversal a lo largo del eje ye corresponde a esta sección transversal aquí que como puedes ver es un semicírculo más grande dada esta información te invito a que le pongas pausa el video e intentes calcular cuál es el volumen de esta cosa de esta figura tridimensional que intentado dibujar aquí trata de calcular cuál es el volumen de este sólido tridimensional supongo que ya lo intentaste y vamos ahora a hacerlo juntos una manera de abordar este problema es dividir el sólido en muchas rebanadas que corresponden a las secciones transversales que hemos marcado si calculamos el volumen de cada una de esas rebanadas transversales y posteriormente sumamos todos esos volúmenes vamos a tener una muy buena aproximación del volumen del sonido completo y si posteriormente tomamos el límite cuando tenemos un número infinito de rebanadas infinitamente pequeñas obtendremos el valor exacto del volumen empecemos calculando entonces la aproximación consideremos está rebanada que se encuentra en x va a ser entonces el diámetro de esta rebanada semicircular cuales el diámetro de la rebanada semicircular que se encuentra en x para ver esto tenemos que reescribir esta ecuación tenemos que despejar 10 para reescribir la de la forma ya igual a fx es decir que igual a 1 - x así es que el diámetro de este sentido círculo dejaba indicarlo claramente aquí el diámetro de este servicio y culo corresponde a esta longitud es la diferencia entre 1 - x y el eje x entre 1 - x y x igual a cero así es que esta longitud que corresponde al diámetro va a estar dada como función de x por 1 - x ahora si queremos encontrar el área de la sección transversal es decir el área del semicírculo sabemos que el área del círculo speech por radio al cuadrado por lo cual el área de un semicírculo va a estar dada como ti por radio al cuadrado sobre dos así es que cuales el radio que corresponde a los semicírculos así es que el radio lo puedo dibujar aquí estoy haciendo mi mejor esfuerzo para dibujar esto semicírculos se ve más o menos así con cierta perspectiva así es que el radio es la mitad del diámetro el diámetro es 1 - x con lo cual el radio es 1 - x sobre dos estadistas 1 - x sobre 12 stuckey también es uno menos se quiso b2 y está aquí también es 1 - x sobre dos así es que este radio mide 1 - x sobre dos este es el valor del radio así es que cual será cuál será el área de este lado está cara lateral de la rebanada bien el área del círculo equipo radial cuadrado pero al ser un semicírculo del área esquí por radio al cuadrado sobre dos vamos a escribirlo aquí áreas igual a ti por radio al cuadrado sobre dos pues es un semicírculo ahora podemos escribir el área como una función de x para que nos quede a de x es igual api sobre dos es igual api sobre dos que multiplica al radio al cuadrado que es uno menos se quiso b2 que multiplica a 1 - x sobre dos y todo esto ha elevado al cuadrado ahora necesitamos calcular el volumen de esta rebanada que tenemos aquí para lo cual tengo que multiplicar esa área por el espesor simplemente tengo que multiplicar esa área por el espesor que tenemos aquí dicho espesor lo podemos notar como the x o más precisamente como delta x así es que esté espesor es delta x así es que multiplicamos esto por delta x este es nuestro derecho déjame ser más preciso esa idea y es más bien el área y aquí voy a escribir el volumen el volumen de cada rebanada va a estar dado por ti sobre dos que multiplica a 1 - x sobre dos elevado al cuadrado x el espesor ya vimos que es delta x esto es el volumen el volumen de cada rebanada de rebanada así es que el volumen del sonido lo podemos aproximar como la suma de todas estas no podemos tomar el límite a medida que él está aquí se hace cada vez más y más pequeño y tenemos cada vez más y más de éstas lo cual como ya sabemos es calcular la integral definida hagamos eso tenemos entonces que el volumen de toda esta cosa el volumen de este sólido es igual a la integral definida desde que x igual a cero hasta que x es igual a uno es donde la red que intercepta el eje x desde que es igual a cero hasta x igual a uno de estamos sumando los volúmenes de un número infinito de rebanadas a medida que su espesor se hace infinitamente pequeño así es que la integral de dejan hacerlo con este color sí sobre dos de 1 - x al cuadrado lo voy a desarrollar de una vez lo voy a desarrollar 1 - x al cuadrado lo mismo que x-men osuna al cuadrado lo cual es x cuadrada menos 2 x + 1 y todo eso dividido entre dos al cuadrado que 4 y ahora en lugar de delta x voy a poner de x pues estoy tomando el límite cuando delta y quise hacer infinitamente pequeño me estoy sumando un número infinito de éstos así es que para calcular el volumen simplemente tenemos que evaluar este integral definida y si te sientes inspirada inspirado puedes ponerle pausa el video y tratar de evaluar esto por tu cuenta bien para empezar saquemos estas constantes del integral tenemos entonces que el volumen es igual a pi sobre ocho que multiplica a la integral definida desde cero hasta 1 de x cuadrada menos dos equis más uno de x y esto es igual a ti sobre ocho que multiplica la anti derivada de esto que es xq ubica sobre 3 - x cuadrada más x y esto lo vamos a evaluar desde que x es igual a cero hasta que kiss es igual a 1 y esto es igual a y sobre ocho que multiplica a evaluamos la expresión en 1 este es un tercio menos uno más uno es un tercio y cuando evaluamos el cero es 0 - 0 +0 esto es cero así es que simplemente y sobre ocho por un tercio lo cual es igual api sobre 24 y así hemos concluido