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Transcripción del video

esta de aquí es la gráfica de x más igual a 1 y supongamos que la región que se encuentra debajo de esta recta en el primer cuadrante forma la base de una figura tridimensional así es que esta región que tenemos aquí es la base de una figura tridimensional y lo que sabemos de esta figura tridimensional es que si tomamos secciones transversales que son perpendiculares al eje x secciones transversales que también podríamos decir que son paralelas al eje y supongamos que esta es una de esas secciones transversales y sabemos que dichas secciones tienen forma de semicírculo así es que desde otra perspectiva la figura tridimensional se vería como esto el plano coordenada lo he puesto horizontal de tal manera que esta sección transversal cuando vemos la figura desde arriba esta sección transversal la veríamos si la figura fuera transparente la veríamos que tiene esta forma así es cómo veríamos la sección transversal desde esa perspectiva donde podemos apreciar que es un semicírculo esta sección transversal del eje y corresponde a esta sección transversal aquí que como puedes ver es un semicírculo más grande dada esta información te invito a que le pongas pausa al vídeo e intentes calcular cuál es el volumen de esta cosa de esta figura tridimensional que he intentado dibujar aquí trata de calcular cuál es el volumen de este sólido tridimensional supongo que ya lo intentaste y vamos ahora a hacerlo juntos una manera de abordar este problema es dividir el sólido en muchas rebanadas que corresponden a las secciones transversales que hemos marcado si calculamos el volumen de cada una de estas rebanadas transversales y posteriormente sumamos todos esos volúmenes vamos a tener una muy buena aproximación del volumen del sólido completo y si posteriormente tomamos el límite cuando tenemos un número infinito de rebanadas infinitamente pequeñas obtendremos el valor exacto del volumen empecemos calculando entonces la aproximación consideremos esta rebanada que se encuentra en él cuál va a ser entonces el diámetro de esta rebanada semicircular cuál es el diámetro de la rebanada semicircular que se encuentra en x para ver esto tenemos que reescribir esta ecuación tenemos que despejar 10 para reescribir la de la forma igual a efe x es decir que igual a 1 - x así es que el diámetro de este semicírculo déjame indicarlo claramente aquí el diámetro de este semicírculo corresponde a esta longitud es la diferencia entre 1 - x y el eje x entre 1 - x y x igual a 0 así es que esta longitud que corresponde al diámetro va a estar dada como función de x por 1 - x ahora si queremos encontrar el área de la sección transversal es decir el área del semicírculo sabemos que el área del círculo es pi por radio al cuadrado por lo cual el área de un semicírculo va a estar dada como pi por radio al cuadrado sobre 2 así es que cuál es el radio que corresponde a los semicírculos así es que el radio lo puedo dibujar aquí estoy haciendo mi mejor esfuerzo para dibujar estos semicírculos se ven más o menos así con cierta perspectiva así es que el radio es la mitad del diámetro el diámetro es 1 - x con lo cual el radio es 1 x sobre 2 esta distancia es 1 - x sobre 2 está aquí también es 1 - x sobre 2 y está aquí también es 1 - x sobre 2 así es que este radio mide 1 - x sobre 2 este es el valor del radio así es que cuál será cuál será el área d este lado esta cara lateral de la rebanada bien el área del círculo es pipo radio al cuadrado pero al ser un semicírculo el área es y por radio al cuadrado sobre 2 vamos a escribirlo aquí área es igual a y por radio al cuadrado sobre 2 pues es un semicírculo ahora podemos escribir el área como una función de x para que nos quede a de x es igual a pis sobre 2 es igual a pis sobre 2 que multiplica al radio al cuadrado que es 1 - x sobre 2 que multiplica a 1 - x sobre 2 y todo esto elevado al cuadrado ahora necesitamos calcular el volumen de esta rebanada que tenemos aquí para lo cual tengo que multiplicar esa área por el espesor simplemente tengo que multiplicar esa área por el espesor que tenemos aquí dicho espesor lo podemos denotar como de equis o más precisamente como delta x así es que este espesor es delta x así es que multiplicamos esto por delta x éste es nuestro de hecho déjame ser más preciso esta de ahí es más bien el área y aquí voy a escribir el volumen el volumen de cada rebanada va a estar dado por pi sobre 2 que multiplica a 1 - x sobre 2 elevado al cuadrado multiplicado por el espesor que ya vimos que es delta x esto es el volumen el volumen cada rebanada de rebanada así es que el volumen del sólido lo podemos aproximar como la suma de todas estas o podemos tomar el límite a medida que delta x se hace cada vez más y más pequeño y tenemos cada vez más y más de estas lo cual como ya sabemos es calcular la integral definida hagamos eso tenemos entonces que el volumen de toda esta cosa el volumen de este sólido es igual a la integral definida desde que x igual a cero hasta que x es igual a 1 es donde la recta intercepta el eje x desde que x igual a cero hasta x igual a 1 d estamos sumando los volúmenes de un número infinito de rebanadas a medida que su espesor se hace infinitamente pequeño así es que la integral de déjame hacerlo con este color y sobre dos de 1 - x al cuadrado lo voy a desarrollar de una vez lo voy a desarrollar 1 - x al cuadrado es lo mismo que x menos 1 al cuadrado lo cual es x cuadrada menos 2 x más 1 y todo eso dividido entre 2 al cuadrado que es 4 en lugar de delta x voy a poner de equis pues estoy tomando el límite cuando delta x se hace infinitamente pequeño y estoy sumando un número infinito de estos así es que para calcular el volumen simplemente tenemos que evaluar esta integral definida y si te sientes inspirada expirado puedes ponerle pausa al vídeo y tratar de evaluar esto por tu cuenta bien para empezar saquemos estas constantes de la integral tenemos entonces que el volumen es igual y sobre 8 que multiplica a la integral definida desde 0 hasta 1 de x cuadrada menos 2 x 1 de x y esto es igual a ti sobre 8 que multiplica la anti derivada de esto que es x cúbicas sobre 3 - x cuadrada más x y esto lo vamos a evaluar desde que x es igual a cero hasta que x es igual a 1 y esto es igual a y sobre 8 que multiplica a evaluamos la expresión en 1 este es un tercio menos uno más uno es un tercio y cuando evaluamos en 0 es 0 - 0 0 esto es 0 así es que simplemente y sobre 8 por un tercio lo cual es igual a pi sobre 24 y así hemos concluido