Ejemplo resuelto: área entre curvas

aquí en color rojo tenemos la gráfica de la equis cuadrada menos 3 y en azul tenemos la gráfica de igual a x 4a menos 4 x cuadrada más 1 el objetivo de este vídeo es usar nuestro conocimiento de cálculo para encontrar el área entre estas dos gráficas que está sombreada de color amarillo puedes ver que queremos el área entre dos curvas por lo tanto usar una integral definida será útil ahora cuáles son nuestros límites de integración bueno van a ser los valores de x donde las gráficas se intersectan el límite inferior es donde las gráficas en tercer khanaqin y el límite superior es donde las gráficas intersectan acá parece que la primera intersección es el punto menos uno menos dos y podemos verificarlo cuando x es igual a menos uno mi función de rojo vale menos uno esto elevado al cuadrado menos tres lo cual es menos 2 puedes verlo aquí en la gráfica y cuando x es igual a menos 1 mi función de azul vale menos uno elevado a la cuarta menos cuatro por menos uno elevado al cuadrado más uno lo cual también es menos 2 también puedes verlo aquí en la gráfica ahora bien puedes usar el mismo argumento para probar que x igual a 1 es otro punto de intersección observa uno menos tres es menos dos y uno menos cuatro por uno más uno es igual a menos dos también por lo tanto ya tenemos los dos valores de x en donde se intersectan las funciones y nuestros límites de integración serán desde x igual a menos 1 hasta x igual a 1 ahora podemos ver que en el intervalo que nos interesa la gráfica de azul es mayor que la gráfica de rojo por lo tanto la gráfica de azules será nuestro borde superior ya esa función le arrestaremos la función de rojo que es nuestro borde inferior entonces pondré x cuarta menos 4x cuadrada más 1 ya esto le restaría x cuadrado menos y bueno claro al final hay que multiplicar todo por de equis recuerda que en vídeos anteriores concluimos que estos siempre funcionan tomar la diferencia de la función que es el borde superior del área menor la función que nos da el borde inferior del área así que simplemente tenemos que calcularla esto nos quedarán como la integral definida de menos uno a uno de y bueno tengo x cuarta menos 4 x 4 adam - x cuadrada me observan se distribuyó este signo negativo sobre la expresión de rojo me va a quedar menos x cuadrada y tengo menos 4x cuadrada - x cuadrada eso es menos 5x cuadrada ok y después tengo 1 y a esto le voy a quitar menos 3 por lo que uno menos menos tres es lo mismo que uno más tres que es 4 y todo esto por de x debemos ser claro toda esta expresión de arriba está multiplicada por de x por lo tanto también voy a poner paréntesis es importante y ahora puedo encontrar la anti derivada de una manera sencilla que es utilizar la inversa de la regla de la potencia varias veces esta será bueno x elevado a la quinta sobre 5 sólo estoy aplicando la inversa de la regla de la potencia aumentar en 1 el exponente y dividir por esa misma cantidad menos 5x elevado al cubo entre 3 + 4x esto evaluado primero en 1 ya esto le quitaremos la evaluación en menos 1 si lo evalúa en 1 bueno vamos a ver que obtengo un quinto menos 5 tercios más 4 ok ya esto le voy a quitar la evaluación en menos 1 lo cual es menos 1 elevado a la quinta potencia entre 5 bueno esto es menos un quinto después tengo menos 5 tercios por este signo menos me va a quedar más 5 tercios y por último menos 1 por 4 4 ahora voy a distribuir este signo negativo de modo que todo lo que está dentro del paréntesis cambiará de signo este será positivo este será negativo y este será positivo solo distribuir el signo negativo y entonces me va a quedar a un quinto más un quinto son dos quintos y después tengo menos cinco tercios menos cinco tercios bueno esos menos diez tercios más ocho ok y esto es exactamente lo mismo que este ocho más y ahora voy a escribir tanto dos quintos como menos diez tercios con un denominador común y mi denominador común es quince por lo tanto dos quintos es lo mismo que 615 ambos y diez tercios es lo mismo que en menos 50 quince abós y bueno ahora tenemos ya un denominador común por lo tanto voy a tomarme la diferencia de 615 ambos menos 50 15 ambos lo cual va a ser menos 44 15 años entonces me queda 8 menos 44 15 ambos si por acá arriba veo que 44 15 a vos es lo mismo que 2 enteros 2 por 1530 y nos sobran 14 14 15 a vos ok entonces tengo 8 menos 2 enteros 14 15 a 28 menos 26 y 6 menos 14 15 a vos es 5 enteros un quinceavo de lujo y todo esto unidades cuadradas porque estamos hablando del área así que ya lo tenemos de esta manera encontramos esta área que estábamos buscando nos veremos en el próximo vídeo