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Integral definida que involucra un logaritmo natural

Transcripción del video

ahora vamos a sacar la integral definida desde dos a cuatro de seis meses cuadrada / x kubica dx y tal vez al principio podría parecer un poco abrumador tengo esta expresión nacional pero sí solo volvemos a escribir esta expresión a de otra manera tal vez podrían ver la solución ya que así podrían ver esto de una manera más simple porque eso nos quedaría igual a la integral definida desde 2 a 4 de 6 entre xq vícam más x cuadrada / x kubica dx lo único que estoy haciendo separar este numerador id y cada uno de estos términos / x pública y esto podría volver a escribir lo de la siguiente manera esto es lo mismo que la integral definida de 2 a 4 de quién bueno primero tengo 6 x al menos tres este es el primer término de ahí 6 entre x kubica es lo mismo que seis ex al menos tres y después tengo x cuadrada entre ex kubica y bueno eso va a ser igual a 1 / x entonces uno / x dx ahora esto va a ser igual a am y primero saquemos la anti derivada de las distintas partes y vamos a evaluar esto en cuatro vamos a evaluarlo también en dos y vamos a encontrar la diferencia entre el anti derivada evaluada en 4 en 2 horas cuál es la anti derivada de seis ex al menos tres bien aquí una vez más podemos usar la regla de las potencias para sacar la entidad privada o lo contrario a la regla de las potencias en la derivada así que sabemos que si estamos sacando la integral de ekiza la ndx anti derivada de esto va a ser x a la n más uno / n más uno y si estuviéramos sacando una integral definida debería haber una c más sé la razón por la cual no ponemos más ser aquí cuando evalúan en ambos límites de integración es que la ce se cancelaría independientemente de lo que sea que obtengamos así que en realidad no pensamos tanto la cep cuando estamos sacando integrales definidas pero ahora es momento de aplicar esta misma de glam 6 x al menos tres entonces esto me va a quedar x al menos tres más uno lo cual es exhala -2 y lo vamos a admitir en tremp menos dos también y por supuesto no olvidemos este 6 que teníamos al frente entonces esta es la derivada de 6 x al menos tres y cuál es la anti derivada de 1 / x podrían estar tentados a usar la misma idea de kiel podrían ser tentados a decir muy bien la anti derivada de ex alumnos 1 eso es lo mismo que bueno o no entre x y eso va a ser igual a amd x a la menos uno más uno entre menos uno más uno pero que es menos 1 más 1 0 así que esto no corresponde a esta propiedad de kim pero por suerte para nosotros hay otra propiedad que vimos por otro camino cuando tuvimos la derivada de la función logaritmos natural por ello la anti derivada de una entre x o de que sea la menos uno a veces logran escrito como el logaritmo natural de x + cm pero prefiero la otra forma de ver lo que es tomarme el valor absoluto de xe porque aquí puede evaluar la para valores negativos es decir el lugar es natural del valor absoluto de x y esto es útil ya que esto está definido para valores negativos no sólo para valores positivos porque el lugar es natural de x estás simplemente definido para los valores positivos de equis pero cuando sacas el valor absoluto ahora podrían ser valores negativos o positivos de x y funcionan porque la derivada de esto por supuesto es una entre x ahora no es muy relevante aquí ya que nuestros límites e integración ambos son positivos pero si ambos límites de integración fueran negativos podría seguir haciéndolo recordando que esto es el logaritmo natural del valor absoluto de x entonces tengo más el lugar es natural del valor absoluto de x lo pongo así porque no creo que sea un mal hábito hacerlo recuerda si todo es positivo entonces simplemente el valor absoluto de x será x y entonces esto a que va a ser igual bueno primero vamos a evaluar todo el 4 y bueno antes de evaluar los 6 entre -2 es lo mismo que menos tres y ahora sí vamos a evaluar todo en 4 lo cual me va a quedar bueno menos tres entre 4 cuadrado recuerdo 4 - 2 es lo mismo que cuando entre 4 cuadrado y luego hay que sumarle el lugar y es natural de y bueno podríamos decir del valor absoluto de cuatro pero el valor absoluto de cuatro es simplemente 4 entonces el logaritmo natural de cuatro ya esto le vamos a restar todo evaluado en dos si esto lo evaluamos en dos esto va a ser igual a menos tres entre dos elevado al cuadrado recuerda 2 elevado lo menos dos es lo mismo que uno entre 12 cuadrado y a esto le tenemos que sumar el logaritmo natural de del valor absoluto de dos que de nuevo es simplemente 2 entonces qué nos va a dar esto bueno vamos a tratar de simplificar un poco toda esta expresión entonces a esto es menos tres entre 16 más el logaritmo natural de 4 y luego estoy aquí es menos tres entre cuatro y tenemos este signo negativo fuera así que tenemos que distribuirlo entonces el negativo de menos tres cuartos es tres cuartos positivo y a eso le vamos a restar el lugar y natural de dos y esto que va a ser igual muy bien esto va a ser igual y dejen de usar este color neutral porque ahora tengo vamos a sumar estos dos términos y no involucra al hogar es natural por ahora busquemos un común denominador tres cuartos es lo mismo que si multiplicamos el numerador y el denominador por cuatro eso es 12 dieciseisavos y entonces tenemos menos 13 dieciseisavos +12 dieciseisavos lo que nos dan 9 dieciseisavos a 9 dieciseisavos y luego vamos a tener a los logaritmos naturales tenemos el logaritmo natural de 4 - el logaritmo natural de dos entonces podemos escribir esto como el lugar y natural de 4 - el logaritmo natural de dos y podríamos recordar una de las propiedades de los logaritmos para poner que esto es exactamente lo mismo que el lugar y natural de cuatro entre dos esto sale directamente de las propiedades de los ritmos entonces esto va a ser igual a logaritmo natural de bueno de dos así que ahora si ponemos un redoble de tambor para dar el resultado final ya que todo esto va a ser igual a 9 entre 16 más el logaritmo natural de dos y hemos terminar