Integral definida que involucra un logaritmo natural

ahora vamos a sacar la integral definida desde 2 a 4 de 6 x cuadrada entre x cúbica de x y tal vez al principio podría parecer un poco abrumador tengo esta expresión racional pero si solo volvemos a escribir esta expresión de otra manera tal vez podrían ver la solución ya que así podrían ver esto de una manera más simple porque esto nos quedaría igual a la integral definida desde 2 a 4 de 6 entre x cúbica más x cuadrada entre x cúbica de x lo único que estoy haciendo separar este numerador y dividí cada uno de estos términos entre x cúbica y esto podría volver a escribirlo de la siguiente manera esto es lo mismo que la integral definida de 2 a 4 de quien bueno primero tengo 6 x al menos 3 este es el primer término de ai 6 / x cúbicas lo mismo que 6 x menos 3 y después tengo x cuadrada entre x kubica y bueno esto va a ser igual a 1 entre x entonces 1 / x ahora esto va a ser igual primero saquemos la anti derivada de las distintas partes y vamos a evaluar esto en 4 vamos a evaluarlo también en 2 y vamos a encontrar las diferencias entre el anti derivada evaluada en 4 y en 2 ahora cuál es la anti derivada de seis ex a la menos tres bien aquí una vez más podemos usar la regla de las potencias para sacar la anti derivada o lo contrario a la regla de las potencias en la derivada así que sabemos que si estamos sacando la integral de x a la n de x la anti derivada de esto va a ser x a la n 1 entre n 1 y si estuviéramos sacando una integral indefinida debería haber una c + c y la razón por la cual no ponemos más ser aquí cuando evalúan en ambos límites de integración es que la sexta cancelaría independientemente de lo que sea que obtengamos así que en realidad no pensamos tanto en la c cuando estamos sacando integrales definidas pero ahora es momento de aplicar esta misma regla a 6x a la menos 3 entonces esto me va a quedar x a la menos tres más uno lo cual es excelente 2 y lo vamos a dividir entre menos 2 también y por supuesto no olvidemos este 6 que teníamos al frente entonces esta es la anti derivada de 6x a la menos 3 y cuál es la anti derivada de uno entre x bueno podría estar tentados a usar la misma idea de que podrían ser tentados a decir muy bien la anti derivada de exhala menos 1 eso es lo mismo que bueno uno entre x y esto va a ser igual a amd x a la menos uno más uno entre menos uno más uno pero que es menos uno más uno es cero así que esto no corresponde a esta propiedad de aquí pero por suerte para nosotros hay otra propiedad que vimos por otro camino cuando obtuvimos la derivada de la función logaritmo natural por ello la anti derivada de uno entre x o de exhala menos uno a veces lo verán escrito como el logaritmo natural de x + cm pero prefiero la otra forma de ver lo que es tomarme el valor absoluto de x porque aquí puedo evaluar para valores negativos es decir el logaritmo natural del valor absoluto de x y esto es útil ya que esto está definido para valores negativos no solo para valores positivos porque el logaritmo natural de x está simplemente definido para los valores positivos de x pero cuando sacas el valor absoluto ahora podrían ser valores negativos o positivos de x y funcionan porque la derivada de esto por supuesto es 1 / x ahora no es muy relevante aquí ya que nuestros límites de integración ambos son positivos pero si ambos límites de integración fueran negativos podría seguir haciéndolo recordando que esto es el logaritmo natural del valor absoluto de x entonces tengo más el logaritmo natural del valor absoluto de x lo pongo así porque no creo que sea un mal hábito hacerlo recuerda si todo es positivo entonces simplemente el valor absoluto de x será x y entonces esto aquí va a ser igual bueno primero vamos a evaluar todo en 4 y bueno antes de evaluar 6 entre menos 2 es lo mismo que menos 3 y ahora sí vamos a evaluar todo en 4 lo cual me va a quedar - 3 / 4 al cuadrado recuerda 4 al menos 2 es lo mismo que en 1 entre 4 al cuadrado y luego hay que sumarle el logaritmo natural de y bueno podríamos decir del valor absoluto de 4 pero el valor absoluto de 4 es simplemente 4 entonces el logaritmo natural de 4 ya esto le vamos a restar todo evaluado en 2 si esto lo evaluamos en 2 esto va a ser igual a menos 3 entre 2 elevado al cuadrado recuerda 2 elevado al menos 2 es lo mismo que uno entre 2 al cuadrado y a esto le tenemos que sumar el logaritmo natural de del valor absoluto de 2 que de nuevo es simplemente 2 entonces que nos va a dar esto bueno vamos a tratar de simplificar un poco toda esta expresión entonces esto es menos 3 entre 16 más el logaritmo natural de 4 y luego esto de aquí es menos tres entre cuatro y tenemos es decir lo negativo afuera así que tenemos que distribuirlo entonces el negativo de menos tres cuartos es 34 es positivo ya eso le vamos a restar el logaritmo natural de 2 y esto aquí va a ser igual muy bien esto va a ser igual y déjeme usar este color neutral porque ahora tengo vamos a sumar estos dos términos y no involucrar a logaritmo natural por ahora busquemos un común denominador tres cuartos es lo mismo que si multiplicamos el numerador y el denominador por 4 esto es 12 dieciseisavos y entonces tenemos menos 13 dieciseisavos más 12 dieciseisavos lo que nos da 9 dieciseisavos 9 dieciseisavos y luego vamos a tener a los logaritmos naturales tenemos el logaritmo natural de 4 menos el logaritmo natural de 2 entonces podemos escribir esto como el logaritmo natural de 4 menos el logaritmo natural de 2 y podemos recordar una de las propiedades de los logaritmos para poner que esto es exactamente lo mismo que él natural de 4 entre 2 esto sale directamente de las propiedades de los logaritmos entonces esto va a ser igual a logaritmo natural de bueno de 2 así que ahora si ponemos un redoble de tambor para dar el resultado final ya que todo esto va a ser igual a 9 entre 16 más el logaritmo natural de 2 y hemos terminado