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La integral definida de la función valor absoluto

Transcripción del video

tenemos que fx es igual al valor absoluto de x + 2 y queremos evaluar la integral definida desde menos cuatro hasta 0 de fx dx y como siempre faus en el video y vea si pueden resolver esto ahora cuando hagan esto por primera vez podrían tropezar un poco ya que cómo sacamos un anti derivada de una función con valor absoluto y la clave aquí es volver a escribir a efe de x sin el valor absoluto y podemos hacer eso reescribiendo a efe como una función por partes y la manera en la que voy a hacer esto es pensar en el intervalo donde lo que sea que tomemos dentro del valor absoluto sea positivo y en el intervalo donde todo lo que tomemos dentro del valor absoluto sea negativo y el punto en el cual cambiamos de ser positivos negativos es donde es más dos es igual a cero o dicho de otra manera donde x es igual a menos dos entonces pensemos en los intervalos donde x sea menor que menos 2 y donde x sea mayor o igual a menos 2 o jo esto podría haber sido menor que hoy igual en cuyo caso este trabajo habría sido mayor que pero de cualquier manera habría sido igual a este valor absoluto ya que es una función continuo bien empecemos por el caso fácil el caso fácil es pensar qué es lo que pasa cuando x es mayor o igual a menos dos entonces observa que es más dos va a ser positivo o más bien va a ser mayor o igual a cero y entonces el valor absoluto de eso va a ser ese mismo valor es decir x + 2 por lo tanto será x + 2 cuando x sea mayor o igual a menos 2 y qué hay del otro caso cuando x es menor que menos dos bien cuando x es menor que menos dos equis +2 va a ser negativo y luego se saca el valor absoluto de un número negativo van a sacar lo opuesto entonces va a ser menos x + 2 en paréntesis y para realmente entender esto porque sinceramente es la parte más difícil de todo el ejercicio de todo lo que estamos haciendo de hecho en realidad de éstos más álgebra que calculó permítanme dibujar la función de bagdad son justo para hacerlo más claro entonces por aquí va a estar mi eje x y esté de por acá va a ser mi heyaime y digamos que aquí en esta x igual al menos dos y cuando estamos menor que menos dos cuando x es menor que menos 2.000 gráfica se va a ver así y cuando somos mayores que menos dos entonces en otro color voy a poner que la gráfica se va a ver asim observa en la gráfica de color azul es la gráfica de x + 2 podemos decir que es la gráfica ley iguala x + 2 y esta otra gráfica de aquí de color magenta en la gráfica de - x -2 y observan tiene pendiente negativa e inter secamos aleje llevó en -2 y tiene bastante sentido con lo que tenemos ahora una vez que separamos esto podemos también hace para la integral podemos decir que lo que escribimos aquí va a ser igual a igual no tomemos esta integral y vamos a separar la primero me voy a tomar la integral de menos 4 - 2 de ftx que en este caso serán menos x menos dos observa lo único que hice fue destruir sino aquí por de exo ya esto le vamos a sumar e integral de menos 2 a 0 dx +2 dx y solamente para que lo tengas mucho más claro vamos a ver lo que estamos haciendo aquí sí aquí tenemos al menos cuatro y por acá tenemos al 0 esta primera integral va a darnos esta área de aquí que es el área bajo la curva de - x menos dos bajo la curva o más bien bajo esta recta y sobre el eje x y la segunda integral nos va a dar esta otra área de aqim / x + 2 y el gx a claro de -2 a hacer así que vamos a evaluar cada uno de estos de hecho inclusive podrían evaluar un poco con área de triángulos pero vamos a hacerlo analíticamente o algebraica mente para ver qué es lo que está sucediendo ok pensemos cuál es la anti derivadas de - x eso es muy fácil esos - x cuadrada entre dos y después tenemos este - 2 el cual es la derivada de menos dos equis y vamos a evaluar esto en menos 2 o y en -4 ok vamos a hacerle una vez esta parte va a ser me quedan menos dos elevado al cuadrado entre dos que es menos cuatro medios ya esto le vamos a quitar dos por menos dos lo cual es 4 positivo entonces esta es la evaluación en -2 y ahora vamos a evaluar los -4 que me quedarían me queda menos cuatro elevado al cuadrado bueno estos menos 16 - 16 entre 2 - 2 por menos cuatro y eso es 8 positivo +8 entonces que va a darnos stom bajemos un poco la pantalla para seguir con este ejercicio y me queda que este equipo va a ser menos dos y estoy aquí es menos ocho de hecho observa el segundo término va a ser igual a cero lo hice bien cuatro cuadrados y seis aquí tengo el signo negativo entre 28 y luego tengo si +8 entonces este segundo término va a ser cero perfecto y que me va a quedar en este primer paréntesis bueno tengo menos dos más cuatro lo cual va a ser igualados entonces lo que tenemos aquí en magenta todo esto va a ser igualados y ahora vamos a pensar en lo que tenemos acá en azul la veamos en la antidiva de x x cuadrada entre dos más y bueno aquí tengo más 2x y lo vamos a evaluar en cero y en -2 primero vamos a evaluarlo en cero para observar si lo evaluamos en cero mucho lo va a ser cero así que a eso le vamos a restar la evaluación en -2 y me quedaría -2 esto elevado al cuadrado entre dos pero eso es cuatro medios que al final esto es positivo y luego tengo dos por menos dos entonces eso es menos cuatro entonces todo esto es menos dos y aquí tengo un signo negativo entonces sería menos -2 o simplemente 2 positivo entonces todo esto se reducen a la suma de dos balazos y tiene sentido lo que tenemos aquí observamos es 2 y toda esta tarea que tenemos acá también es dos porque hay una asimetría kim y si lo sumamos vamos a tener que nuestra integral va a ser igual a 4 y estoy seguro que con una visión realista y un poco geométrica camps podría decir mira a la altura de aqim 2 la base es 22 por dos entre dos igualados y lo mismo aquí porque otra vez tenemos el argumento de esta asimetría geométrica y por lo tanto estas dos áreas son dos las manos ni tenemos 4