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La integral definida de una función definida por partes

Transcripción del video

tenemos a efe de que es justo aquí y está definida en partes para bueno para x menor que cero fx es igual a x + unam y para x mayores o iguales que 0 fx es igual al coste no de px y queremos evaluar la integral de menos uno a uno de fx de x e inmediatamente podrían decir bien para cuál de estas versiones de fx voy a sacarla antes derivada puede menos 1 a 0 caemos en el caso de que es más uno pero luego de 0 a 1 caemos en el caso del coce no de pie keys y si están pensando en eso estaban pensando en la dirección correcta y la manera en la que podemos hacer es un poco más fácil es en efecto dividir esta integral definida así que esto va a ser igual a la integral definida de menos 1 a 0 de fx dx más la integral definida de 0 a 1 de fx tx ahora porque me fue útil dividirla de esta manera en particular dividirla integral de menos 1 a 1 en los intervalos de menos 1 a 0 y de 0 a 1 bien dice eso porque en x igual a cero es donde cambiamos donde fx cambian de ser x + 1 acercó senodep y x y xi ven en el intervalo de menos 1 a 0 fx es x + 1 entonces aquí fx es x + 1 y luego vamos de 0 a 1 en donde fx escocés no de pie x entonces aquí fd x escocés no de pie x y entonces ahora sólo tenemos que evaluar cada uno de éstos por separado y sumarlos juntos así que qué te parece si primero vamos a sacarla integral definida de menos 1 a 0 dx más uno de ex bien vamos a ver la anti derivada de que es más uno es bueno primero saquemos la entidad derivada de x que es x cuadrada entre dos sólo estoy aumentando el exponente en 1 y luego dividiendo por ese mismo valor y luego más x y podrán verlo como si estuvieran haciendo lo mismo si esto es así que sala cero entonces me quedaría x a la 1 entre uno que es simplemente x y voy a evaluar esto en cero y restarle a eso la evaluación en -1 así que esto va a ser igual a amd bueno sí lo evalúen 0 me va a quedar déjame ponerlo en otro color mejor el color anaranjado va a quedar 0 al cuadrado entre 2 +0 bien todo eso va a ser igual a cero ya eso hay que quitarle la evaluación en -1 entonces menos y aquí me quedaría -1 elevado al cuadrado esto a su vez dividido entre dos más - 1 ok - un elevado al cuadrado es fácil es uno entonces me quedaría un medio un medio más o menos uno bueno eso es lo mismo que menos un medio pero luego observa que estamos restando menos un medio es cero - - un medio lo cual va a ser igual a un medio positivo entonces toda esta parte aquí toda esta parte aquí va a ser igual a un medio positivo y ahora vamos a evaluar la integral definida desde cero a uno del coce no de pie kiss the x y aquí es igual esto bueno sí estamos tratando de encontrar la derivada del coche no de x eso ya lo sabemos es muy fácil porque nosotros sabemos que la derivada con respecto a x del seno de x es el coce no de x pero eso no es lo que tenemos aquí tenemos el coche no de pío x así que hay una técnica a la que pueden llamar sustitución um y es decir que tienen una nueva variable llamada un y es igual a pie y x si no saben cómo hacerla entonces puede intentar pensar en esto me lo siguiente pueden decir que tal vez haya una forma de involucrar al seno de px pero si nos fijamos en la derivada con respecto a x del seno de px quien sería eso no podremos usar la regla de la cadena ser ya la deriva de la función de afuera con respecto a la función de adentro es decir la derivada del seno de pie keys con respecto a pie x lo cual sería el coche no de pie x hasta ahí vamos bien y luego hay que multiplicar por la del 'ipad' la función de adentro con respecto ax entonces sería bueno simplemente pib o puede decir que la derivada del seno de pie kiss es si veces el coce no de px ahora ya casi lo tenemos aquí si observas lo único que necesitamos es un pib y si tenemos que poner por aquí un primo y triplicando y no queremos cambiar el valor de la integral entonces también hay que multiplicar de alguna manera por uno entre pib y es que si multiplicamos y dividimos por el mismo número no estamos cambiando su valor uno entre people pib es simplemente uno y por eso es útil porque ahora ya sabemos que picó senodep y x es la derivada del seno de pío x entonces todo esto va a ser igual a 1 entre pym por y ahora vamos a evaluar entonces la entidad privada aquí ya sabemos que es seno de px y vamos a evaluar eso en uno y en cero entonces esto va a ser igual a am me queda uno entre pimpi que multiplican al centro de pi por uno los cuales el 69 pib - el seno de pipo cero lo cual es simplemente cero entonces me quedaría el seno de pimem - el seno de cero ahora el seno de pib es cero y el 0 90 también es cero entonces vamos a tener uno entre pyme que multiplica a 0 - 0 así que todo esto va a ser igual a cero y ya está porque la primera parte era un medio y esta segunda parte de aquí es igual a cero entonces toda esta integral definida va a ser igual a un medio más cero lo cual es igual a simplemente un medio entonces todo esto junto es igual a un medio