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Cálculo integral

Curso: Cálculo integral > Unidad 1

Lección 7: Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación
Matemáticas
Cálculo integral
Integrales
Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación
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Interpretar el comportamiento de funciones de acumulación

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Podemos aplicar "razonamiento con base en cálculo" para justificar propiedades de la antiderivada de una función usando nuestro conocimiento de la función original.
En el cálculo diferencial, razonamos sobre las propiedades de una función f basados en información dada sobre su derivada f′. En cálculo integral, en vez de hablar de funciones y sus derivadas, hablaremos de funciones y sus antiderivadas.

Razonar sobre g a partir de la gráfica de g′=f

Esta es la gráfica de la función f.
Se grafica la función f. El eje x va de menos 2 a 14. La gráfica es una curva en forma de U que abre hacia abajo. La curva empieza en el cuadrante 3, se mueve hacia arriba a través de (0, 0) hasta un máximo local en (5, 5), se mueve hacia abajo a través de (10, 0) y termina en el cuadrante 4.
Sea g(x)=∫0xf(t)dt. Definida de esta forma, g es una antiderivada de f. En cálculo diferencial, escribiríamos esto como g′=f. Como f es la derivada de g, podemos razonar sobre las propiedades de g de la misma manera que lo hicimos en cálculo diferencial.
Por ejemplo, f es positiva en el intervalo [0,10], por lo que g debe ser creciente en este intervalo.
En la gráfica de la función f, la región de la curva por arriba del eje x, entre las intersecciones con el eje x en 0 y 10, está etiquetada como f es positiva y g es creciente.
Más aún, f cambia su signo en x=10, por lo que g debe tener un extremo ahí. Como f va de positiva a negativa, ese punto debe ser un punto máximo.
En la gráfica de la función f, la intersección con el eje x en 10 está etiquetada como "g tiene un máximo local". Las 2 regiones de la curva por abajo del eje x, a la izquierda de la intersección con el eje x en 0 y a la derecha de la intersección con el eje x en 10, están etiquetadas como "f es negativa, g es decreciente".
Los ejemplos anteriores nos mostraron cómo podemos razonar sobre los intervalos donde g crece o decrece y sobre sus extremos relativos. También podemos razonar sobre la concavidad de g. Como f es creciente en el intervalo [−2,5], sabemos que g es cóncava hacia arriba en ese intervalo, y como f es decreciente en el intervalo [5,13], sabemos que g es cóncava hacia abajo en ese intervalo. g cambia de concavidad en x=5, por lo que tiene un punto de inflexión ahí.
En la gráfica de la función f hay un máximo local etiquetado como g tiene un punto de inflexión. La región de la curva a la izquierda de este máximo está etiquetada como f es creciente, g es cóncava hacia arriba. La región de la curva a la derecha del máximo está etiquetada como f es decreciente, g es cóncava hacia abajo.
Problema 1
Esta es la gráfica de f.
Sea g(x)=∫0xf(t)dt.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g es cóncava hacia arriba en el intervalo (5,10)?
Escoge 1 respuesta:

Problema 2
Esta es la gráfica de f.
Sea g(x)=∫0xf(t)dt.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g tiene un mínimo local en x=8?
Escoge 1 respuesta:

¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Es importante no confundir qué propiedades de la función se relacionan con cuáles propiedades de su antiderivada. Muchos estudiantes se confunden y cometen toda clase de inferencias equivocadas, como decir que una antiderivada es positiva porque la función es creciente (de hecho, es al revés).
Esta tabla suma todas las relaciones entre las propiedades de una función y su antiderivada.
Cuando la función f es......la antiderivada g=∫axf(t)dt es...
Positiva +Creciente ↗
Negativa −Decreciente ↘
Creciente ↗Cóncava hacia arriba ∪
Decreciente ↘Cóncava hacia abajo ∩
Cambia de signo / cruza el eje xPunto extremo
Punto extremoPunto de inflexión
Problema de desafío
Esta es la gráfica de f.
Sea g(x)=∫0xf(t)dt.
¿Cuál es una justificación con base en cálculo apropiada para garantizar que g es positiva en el intervalo [7,12]?
Escoge 1 respuesta:

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