Contenido principal
Cálculo integral
Curso: Cálculo integral > Unidad 1
Lección 7: Interpretar el comportamiento de funciones de acumulaciónInterpretar el comportamiento de funciones de acumulación
Podemos aplicar "razonamiento con base en cálculo" para justificar propiedades de la antiderivada de una función usando nuestro conocimiento de la función original.
En el cálculo diferencial, razonamos sobre las propiedades de una función basados en información dada sobre su derivada . En cálculo integral, en vez de hablar de funciones y sus derivadas, hablaremos de funciones y sus antiderivadas.
Razonar sobre a partir de la gráfica de
Esta es la gráfica de la función .
Sea . Definida de esta forma, es una antiderivada de . En cálculo diferencial, escribiríamos esto como . Como es la derivada de , podemos razonar sobre las propiedades de de la misma manera que lo hicimos en cálculo diferencial.
Por ejemplo, es positiva en el intervalo , por lo que debe ser creciente en este intervalo.
Más aún, cambia su signo en , por lo que debe tener un extremo ahí. Como va de positiva a negativa, ese punto debe ser un punto máximo.
Los ejemplos anteriores nos mostraron cómo podemos razonar sobre los intervalos donde crece o decrece y sobre sus extremos relativos. También podemos razonar sobre la concavidad de . Como es creciente en el intervalo , sabemos que es cóncava hacia arriba en ese intervalo, y como es decreciente en el intervalo , sabemos que es cóncava hacia abajo en ese intervalo. cambia de concavidad en , por lo que tiene un punto de inflexión ahí.
¿Quieres más práctica? Intenta este ejercicio.
Es importante no confundir qué propiedades de la función se relacionan con cuáles propiedades de su antiderivada. Muchos estudiantes se confunden y cometen toda clase de inferencias equivocadas, como decir que una antiderivada es positiva porque la función es creciente (de hecho, es al revés).
Esta tabla suma todas las relaciones entre las propiedades de una función y su antiderivada.
Cuando la función | ...la antiderivada |
---|---|
Positiva | Creciente |
Negativa | Decreciente |
Creciente | Cóncava hacia arriba |
Decreciente | Cóncava hacia abajo |
Cambia de signo / cruza el eje | Punto extremo |
Punto extremo | Punto de inflexión |
¿Quieres unirte a la conversación?
- no hay duda todo esta entendido(2 votos)
- no hay nada de duda todo quedo claro(1 voto)